专题强化训练(一) 导数及其应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案] C2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2D．1C [y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′＝2.]3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19C [f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.]4．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值D [∵y′＝1－＝≥0，且仅在有限个点上等号成立，∴函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值．]5．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( )A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)5
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)C [∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．]二、填空题6．若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则ab＝________.－3 [由题意可知即∴a＝1，b＝－3，即ab＝－3.]7．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1.]8．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.ln2－1 [设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝，∴y′|＝，由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝×2＋b，得b＝ln2－1.]三、解答题9．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？[解] (1)因为次品率p＝，所以当每天生产x件时，有x·件次品，有x件正品．所以T＝200x·－100x·5
＝25·(x∈N*)．(2)T′＝－25·，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．当0＜x＜16时，T′＞0；当x＞16时，T′＜0；所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．10．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解] (1)f′(x)＝－3x2＋12.当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m.f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须即∴－16＜m＜16.∴m的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，∴－11＋m＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.5
1．若函数f(x)＝x3－(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0,2)内有极小值，则( )A．0＜b＜1B．0＜b＜2C．－1＜b＜1D．－1＜b＜2C [f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]．令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是极小值点，∴0＜b＋1＜2，∴－1＜b＜1.]2．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(3，＋∞)A [由题意可知不等式为exf(x)－ex－5＞0，设g(x)＝exf(x)－ex－5，∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]＞0.∴函数g(x)在定义域上单调递增．又∵g(0)＝0，∴g(x)＞0的解集为(0，＋∞)．]3．已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．1 [f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝1－＝.由f′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a.当－a＜x＜1－a时，f′(x)＜0，f(x)在(－a,1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f′(x)＞0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1.]4．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．[3，＋∞) [因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，5
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.]5．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x＞1时，x2＋lnx＜x3.[解] (1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.(2)因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；递减区间为(0，)．(3)证明：设g(x)＝x3－x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋lnx＜x3.5
