【高考调研】2022高中数学第一章导数及其应用单元测试题新人教A版选修2-2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个 B．2个C．3个D．4个答案 A解析 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2．在区间[，2]上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[，2]上的最大值是( )A. B.C．8D．4答案 D3．点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A．[0，]B．[0，]∪[π，π)C．[π，π)D．[，π]8\n答案 B4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜答案 A解析 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.5．函数f(x)＝cos2x－2cos2的一个单调增区间是( )A.B.C.D.答案 A解析 f(x)＝cos2x－cosx－1，∴f′(x)＝－2sinx·cosx＋sinx＝sinx·(1－2cosx)．令f′(x)>0，结合选项，选A.6．设f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′(x0)等于( )A．1B．0C．3D.答案 D7．经过原点且与曲线y＝相切的切线方程为( )A．x＋y＝0B．x＋25y＝08\nC．x＋y＝0或x＋25y＝0D．以上皆非答案 D8．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是( )A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数答案 A9．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根答案 B解析 设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1＝－4a<0，f(x)＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10．一点沿直线运动，如果由始点起经过ts后距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1s末B．0sC．4s末D．0,1,4s末答案 D11．设f(x)＝则f(x)dx等于( )A.B.C.D．不存在答案 C解析 数形结合，如图．8\nf(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝＝＋(4－2－2＋)＝，故选C.12．若函数f(x)＝，且0<x1<x2<1，设a＝，b＝，则a，b的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．a、b的大小不能确定答案 A解析 f′(x)＝，令g(x)＝xcosx－sinx，则g′(x)＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.∵0<x<1，∴g′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.答案 解析 f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系是________．8\n答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在上是增函数，∵>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且f(x)dx＝3，则函数f(x)的解析式为________．答案 f(x)＝x＋解析 设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b＝4－2a.∴f(x)dx＝(ax＋4－2a)dx＝[ax2＋(4－2a)x]＝a＋4－2a＝1.∴a＝.∴b＝.∴f(x)＝x＋.16．(2022·江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．答案 21解析 ∵y′＝2x，∴过点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．解析 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形面积S＝(x－x2)dx＝＝－＝.8\n又由此可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标x3＝0，x4＝1－k，所以＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又S＝，所以(1－k)3＝，∴k＝1－.18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x＝1时，取得极大值，∴f′(1)＝0.又f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，∴4－12＋2a＝0⇒a＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x＝1的对称点B的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.(1)由极值点的必要条件可知：f′(－2)＝f′(4)＝0，即解得a＝－3，b＝－24.或f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x＋2)(x－4)＝3x2－6x－24，也可得a＝－3，b＝－24.(2)由f′(x)＝3(x＋2)(x－4)．当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜4时，f′(x)＜0.∴x＝－2是极大值点，而当x＞4时，f′(x)＞0，∴x＝4是极小值点．8\n20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解析 a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.(1)当a＞0时，列表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)增极大值b减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a＋3＝－29，得a＝2.(2)当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f(x)有最小值．当x＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b＝－29,f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.21．(12分)(2022·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解析 (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；当－<x<时，g′(x)>0，从而g(x)在[－，]上是增函数．8\n由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．分析 解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f′(x)＝－＝，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x>.由f′(x)<0，解得x<.∴f(x)的单调减区间为(0,)，单调增区间为(，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝处取得最小值，且f()<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．8
