考点42抛物线一、选择题1.（2022·四川高考文科·Ｔ5）抛物线的焦点到直线的距离是（）A.B.C.D.【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选D，抛物线的焦点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，故选D.2.（2022·北京高考理科·Ｔ7）直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A.B.2C.D.【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。【解析】选C。的方程是，所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：.3.（2022·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（）A.或B.或C.或D.或【解题指南】设出A、B点的坐标，利用抛物线的定义表示出，再利用，确立的方程.【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2-7-\n|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为.4.(2022·新课标全国Ⅱ高考理科·T11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解题指南】结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.【解析】选C.由题意知:F,准线方程为,则由抛物线的定义知,xM=,设以MF为直径的圆的圆心为,所以圆的方程为又因为过点(0,2),所以yM=4,又因为点M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.5.（2022·大纲版全国卷高考文科·Ｔ12）与（2022·大纲版全国卷高考理科·Ｔ11）相同已知抛物线，两点，若，则（）A.B.C.D.【解题指南】先求出抛物线的焦点，列出过焦点的直线方程，与抛物线联立，化简成关于的一元二次方程，利用根与系数关系代入求解.【解析】选D.由题意知直线的方程为，将其代入到得，，设，，则，①又，②-7-\n③因为,所以，即.④由①②③④得，.二、填空题6.（2022·北京高考文科·Ｔ9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____【解题指南】利用抛物线的标准方程求解。【解析】。【答案】2，7.(2022·浙江高考理科·T15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.【解析】设直线l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1·x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),则,,因为|FQ|=2,F(1,0),所以,所以k2=1,k=±1.【答案】±1.三、解答题8.(2022·福建高考理科·T18)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为,点C的坐标为,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点-7-\n(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积之比为4∶1,求直线l的方程.【解题指南】证明9个点都在同一条抛物线上,考生可从特殊入手,通过合情推理得出结论并加以验证,也可通过演绎推理直接证明.【解析】(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,设Pi坐标为(x,y),由得:y=x2,即x2=10y,所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意:直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10,由得x2-10kx-100=0.此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N,设:M(x1,y1),N(x2,y2),则因为S△OCM=4S△OCN,所以,又因为x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①②,解得.直线l的方程为,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.9.(2022·福建高考文科·T20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.-7-\n(1)若点C的纵坐标为2,求.(2)若,求圆C的半径.【解题指南】垂径定理求圆的弦长MN,第(2)问,先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.所以.(2)设,则圆C的方程为,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则:由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0,所以圆心C的坐标为或,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.10.（2022·陕西高考理科·Ｔ20）已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.【解题指南】由弦长的一半，半径和弦心距构成直角三角形列出方程，化简后得出轨迹C-7-\n的方程;直线过定点可抓住该题的关键x轴是的角平分线，即解之.【解析】(1)A(4,0),设圆心，设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图像知(2)设直线l的方程为y=kx+b,联立.设，则若x轴是的角平分线，则=即k=-b,故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点（1,0）.11.（2022·湖南高考理科·Ｔ21）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.（1）若，证明；；（2）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.【解题指南】(1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,于是代入条件即可求解.【解析】（1）由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为.由，得，设A,B两点坐标分别为，，-7-\n则是上述方程的两个实数根，从而，，所以点M的坐标为，，同理可得点N的坐标为，，于是，由题设，，，所以，故.（2）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径，故圆M的方程为，化简得同理可得圆N的方程为.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，，则的方程为，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值，由题设，，解得，故所求抛物线E的方程为.-7-
