活页作业 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )A．2 B．－2 C．－ D．解析：＝＝＝＋i，∴＝0.∴a＝2.答案：A2．复数的共轭复数是( )A．－i B．i C．－i D．i解析：∵＝＝＝i，∴的共轭复数为－i.答案：C3．(理)(2022·安徽高考)复数z满足(z－i)(2－i)＝5；则z＝( )A．－2－2i B．－2＋2iC．2－2i D．2＋2i解析：(z－i)(2－i)＝5⇔z－i＝⇔z＝i＋＝2＋2i.答案：D3．(文)(2022·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝( )A．－1－i B．1－iC．－1＋3i D．1－2i解析：由题意知z＝i＋＝1－i.答案：B4．(2022·新课标全国高考)下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2 p2：z2＝2ip3：z的共轭复数为1＋i p4：z的虚部为－1.4\n其中的真命题为( )A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4解析：z＝＝－1－i，故|z|＝，p1错误；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2正确；z的共轭复数为－1＋i，p3错误；p4正确．答案：C5．已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(1＋2i)对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．(文)(2022·北京模拟)设i是虚数单位，复数z＝tan45°－isin60°，则z2等于( )A.－i B．－iC.＋i D．＋i解析：z＝1－i，∴z2＝－i.4\n答案：B二、填空题7．若复数z＝＋m·(i为虚数单位)为实数，则实数m＝______.解析：复数z＝＋m·＝＋m·＝＋m·＝(1－m)i，因为复数z＝＋m·(i为虚数单位)为实数，则1－m＝0，m＝1.答案：18．复数z0＝5＋2i(i为虚数单位)，复数z满足z·z0＝5z＋z0，则z＝________.三、解答题10．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，|z1－z2|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．解：(1)∵z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα－sinβ)，|z1－z2|＝，∴＝，4\n∴cos(α－β)＝＝.(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.4
