课时规范练27 数系的扩充与复数的引入一、基础巩固组1.已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.(2022北京,理2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)3.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.2C.3D.24.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是( )A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=25.(2022河北武邑中学一模)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-45C.45D.46.(2022辽宁大连一模,理1)已知复数z=1+2i,则z·z=( )A.5B.5+4iC.-3D.3-4i7.(2022辽宁沈阳一模)已知复数2-mi1+2i=A+Bi(m,A,B∈R),且A+B=0,则m的值是( )A.2B.23C.-23D.2〚导学号21500540〛8.设z=1+i,则2z+z2等于( )A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i9.(2022江苏,2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 . 10.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是 . 11.(2022江苏无锡一模,2)若复数z满足z+i=2+ii,其中i为虚数单位,则|z|= . 12.(2022天津,理9)已知a∈R,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为 . 二、综合提升组13.(2022河北衡水中学三调,理1)已知复数z满足iz=4+3i1+2i,则复数z在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.若z=1+2i,则4izz-1=( )A.1B.-1C.iD.-i15.(2022江苏南京一模,2)若复数a-2i1+2i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为 . 16.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是 . 三、创新应用组17.(2022浙江,12)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= . 3\n18.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是 .〚导学号21500541〛 课时规范练27 数系的扩充与复数的引入1.A 要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1,故选A.2.B 设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+1<0,1-a>0,解得a<-1.故选B.3.B 因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=2,故选B.4.D z=1-i,|z|=1+1=2,故选D.5.C 由(3-4i)z=|4+3i|,得(3-4i)z=5,即z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=15+20i25=35+45i,故z的虚部为45.6.A ∵z=1+2i,∴z·z=|z|2=(12+22)2=5.故选A.7.C 因为2-mi1+2i=A+Bi,所以2-mi=(A+Bi)(1+2i),可得A-2B=2,2A+B=-m,又A+B=0,所以m=-23,故选C.8.A 2z+z2=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=2(1-i)2+2i=1-i+2i=1+i.9.10 由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+32=10,答案为10.10.-1 (a+i)2=a2-1+2ai.由题意知a2-1=0,且2a<0,解得a=-1.11.10 由z+i=2+ii,得z=2+ii-i=-i(2+i)-i2-i=1-2i-i=1-3i,故|z|=1+(-3)2=10.12.-2 ∵a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,∴-a+25=0,即a=-2.13.C ∵iz=4+3i1+2i,∴z=4+3i(1+2i)i=4+3i-2+i=(4+3i)(-2-i)(-2+i)(-2-i)=-5-10i5=-1-2i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限.14.C 由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.15.4 a-2i1+2i=(a-2i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=a-4-2(a+1)i5=a-45-2(a+1)5i.∵复数a-2i1+2i是纯虚数,∴a-45=0,-2(a+1)5≠0,解得a=4.16.-916,7 由复数相等的充要条件可得m=2cosθ,4-m2=λ+3sinθ,化简得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sinθ-382-916.因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈-916,7,故λ∈-916,7.17.5 2 由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.3\n18.1 由题意得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1).∵OC=λOA+μOB,∴(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),∴-λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得λ=-1,μ=2.∴λ+μ=1.3
