活页作业 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“3n≥n3(n≥3，n∈N)”时，第一步证明中的初始值为( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4解析：由题意知n0＝3.答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析：由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.答案：D3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<.则可归纳出1＋＋＋＋…＋＋小于( )A. B． C． D．解析：观察，，与项数的关系可得结论为.答案：A4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应加的项为( )A.B.＋C.＋－D.＋－－5\n5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)可知对任何n∈N*，＜n＋1都成立．则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：在证明n＝k＋1时，没有用到归纳假设，所以选D.答案：D6．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )A. B．C. D．解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，5\n∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，a4＝.故选C.答案：C二、填空题7．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝__________，b＝__________，c＝_________.三、解答题9．(2022·烟台模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋λa＋(n∈N*)．(1)若λ＝μ＝1，证明数列{lg(an＋1)}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若λ＝0，是否存在实数μ，使得an≥2对一切n∈N*恒成立？若存在，求出μ的取值范围，若不存在，说明理由．解：(1)∵λ＝μ＝1，则an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2，lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)，∴{lg(an＋1)}是公比为2的等比数列，且首项为lg3，∴lg(an＋1)＝2n－1lg3，∴an＋1＝32n－1，∴an＝32n－1－1(n∈N*)．(2)方法一：由a2＝2a1＋＝4＋≥2，得μ≥－3，5\n猜想μ≥－3时，对一切n∈N*，an≥2恒成立．①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak≥2，则由an＋1＝得ak＋1－2＝＝≥＝≥0，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2，猜想成立．由①②知，当μ≥－3时，对一切n∈N*，恒有an≥2.10．(金榜预测)设函数f(x)＝x2ex－1－x3－x2(x∈R)．(1)求函数y＝f(x)的单调区间；5\n当n＝k＋1时，因为g′k＋1(x)＝ex－1－＝ex－1－>0，所以gk＋1(x)在(1，＋∞)上也是增函数．所以gk＋1(x)>gk＋1(1)＝e0－＝1－>0，即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②知当x∈(1，＋∞)时，∀n∈N*，ex－1>.5
