活页作业 抛物线一、选择题1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即为所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.答案：D2．(理)(2022·东营模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－22．(文)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )A. B．1C．2 D．4解析：由题知抛物线的准线为x＝－，圆心为(3,0)、半径为4，由准线与圆相切得圆心到准线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.答案：C3．(理)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )A．y＝2x2 B．y2＝2xC．x2＝2y D．y2＝－2x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，8\n则且两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，∴p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x.答案：B3．(文)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A．y2＝12x B．y2＝8xC．y2＝6x D．y2＝4x解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得x1＋x2＋p＝8，又AB中点到y轴的距离为2，∴x1＋x2＝4，∴p＝4.答案：B4．(2022·济南模拟)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24 C．36 D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px，当x＝时，y2＝p2，∴|y|＝p.∴p＝＝＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝×12×6＝36.故选C.答案：C5．(理)(2022·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A. B. C. D．2解析：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A8\n的横坐标为2.6．(理)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条解析：抛物线的焦点为，当直线与x轴垂直时不满足题意，当直线不与x轴垂直时，设其方程为y＝k，代入y2＝2x，整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0.设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2，k2＝2，∴k＝±，且满足Δ＞0.故选B.答案：B6．(文)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )A．1 B．1或3 C．0 D．1或0解析：由消去y整理得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，由直线与抛物线只有一个公共点得或k＝0，解得k＝1或k＝0.8\n答案：D二、填空题7．(2022·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1，∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0＞0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.答案：28．(2022·长春模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是________．解析：根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.把M(1，m)代入得m＝4，即M(1,4)．在双曲线－y2＝1中，A(－，0)，则kAM＝＝，解得a＝.答案：三、解答题9．(理)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．解：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．8\n9．(文)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．解：(1)由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝.解得k＝±，所以直线l的斜率为±.(2)设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)．8\n由消去x整理得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，∴y1＋y2＝.∵N为AB中点，∴＝y0，即＝y0.∴x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.10．(理)(2022·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，求证：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．(1)解：方法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明：当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－＝－.②由消去x整理得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，8\n所以y1y2＝.④同理可得y3y4＝.⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝＝＝＝6400.所以当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.10．(文)(2022·浙江高考)如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，∴·(y1＋y2)＝1.又y1＋y2＝2m，∴k·2m＝1，∴k＝∴直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x整理得8\n8
