等差数列与等比数列题型预测两个基本数列（等差数列和等比数列），以及通过适当转化可化成这两个数列的问题是高考考查的重点．要注意之间的内在联系，注意相邻项，相邻若干项之间的内在联系及相互转化．范例选讲例1已知数列的前项和．(Ⅰ)判断数列是否为等差数列；(Ⅱ)设，求；(Ⅲ)设，是否存在最小的自然数，使得不等式对一切自然数总成立？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．讲解：本题中，求出数列的通项公式是关键．(Ⅰ)∵，∴当时，，当时，，∴．∴数列不是等差数列．(Ⅱ)由可知：当时，，当时，．4\n∴当时，，当时，．即：．(Ⅲ)当时，，，当时，，．由可知：随的增大而单调递增．所以，要使不等式对一切自然数总成立，需且只需．又，所以，满足题意的自然数．点评：利用前n项和与通项的关系求通项公式时，要注意n=1时的特殊情况．例2已知数列中，，且对任意正整数都有．数列对任意自然数都有．（Ⅰ）求证数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项的和为，求的值．讲解：已知条件中，数列的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列4\n的通项公式则是通过数列给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列入手，这就应该通过代数变形，致力于证明为定值；二是从数列的通项公式入手．如何求出数列的通项公式呢？由于已知条件与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与及有关的新的等比数列．解1：（1）∵，∴．∴一方面，，另一方面，，∴．又，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由（1）可知：，又，∴，．4\n（3）．解2：设数列为等比数列，则，对照，不难解得：，．∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．∴．∴．∴=．∴．∴．点评：解1按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．4
