归纳、猜想、证明题型预测观察、归纳、猜想、证明是解决探索性问题的重要思维方法，也是高考考查的热点．范例选讲例1．已知数列满足，对于任意的n∈N，都有＞0，且.又知数列满足：.(Ⅰ)求数列的通项以及它的前n项和；(Ⅱ)求数列的前n项和；(Ⅲ)猜想和的大小关系，并说明理由.讲解：是关于的二次齐次式，故可利用求根公式得到的更为明显的关系式，从而求出．(Ⅰ)∵＞0（ｎ∈N），且，∴(n+1)．∴．∵＞0（ｎ∈N），∴．即．∴．4\n又,所以，．∴．(Ⅱ)∵，∴．(Ⅲ)．当n=1时，，∴；当n=2时，，∴；当n=3时，，∴；当n=4时，，∴；当n=5时，，∴；当n=6时，，∴；猜想：当时，.即.下用数学归纳法证明：1°当n=5时，前面已验证成立；2°假设(k≥5)时命题成立，即成立，那么当n=k+1(k≥5)时，．即n=k+1(k≥5)时命题也成立．由以上1°、2°可知，当n≥5时，有；综上可知：当n=1时，；当时，，当n≥5时，有．点评：注意到的增长速度大于的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n=1到n=4都有就得出的结论，而应该坚信：必存在，使得，从而使得观察的过程继续下去．4\n例2已知数列中，．（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当时，；当时，？（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当时，总有？讲解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些的值来寻找规律．不难得到：，，，，，，可以看出：均大于2，从到均小于2，但能否由此断定当时，也有？这就引导我们去思考这样一个问题：若，能否得出？为此，我们考查与的关系，易得．可以看出：当时，必有．于是，我们可以确定：当时，必有．为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当时，是否均有．方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：．由此，我们可以从出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若，能否得出”？由不难得知：上述结论是正确的．所以，存在，使得当时，；当时，．（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当时，总有4\n．由（Ⅰ）可得：．我们已经知道：当时，，于是，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当时，总有？观察前面计算的结果，可以看出：，均大于-3，可以猜想：即可满足条件．这样的猜想是否正确？我们只需考查与的关系：由可知：上述结论正确．另外，如果我们注意到从到，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑．由〉0，从而得出结论．点评：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．4
