【备战2022】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题09 直线和圆 理

【备战2022】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题09直线和圆理【2022高考真题精选】1．（2022·北京卷）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．2．（2022·浙江卷）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.3．（2022·北京卷）已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．【答案】解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得<m<5，41\n4．（2022·陕西卷）已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．41\n5．（2022·上海卷）若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．【答案】arctan2　【解析】考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k×＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2.6．（2022·浙江卷）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件41\n7．（2022·湖北卷）设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．41\n故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.方法2：如图(2)、(3)，对任意x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(x－x)＋(y－y)＝0.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.于是由③式可得41\n＝－m2.④又Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，即＝.于是由④式可得kPQ·kPH＝·＝·＝－.而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又m＞0，得m＝，故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.8．（2022·课标全国卷）设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【答案】解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)，p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.因为m的截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.9．（2022·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．41\n上式等号成立当且仅当1＝m2⇒m2＝∈(0,3]，因此当m＝±，n＝±时等号成立．所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.10．（2022·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．【答案】　【解析】本题考查用几何方法判定两圆的位置关系．解题突破口为设出圆的圆心坐标．41\n圆C方程可化为(x－4)2＋y2＝1圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故≤2，整理得(k2＋1)x2－(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解之得0≤k≤，故最大值为.11．（2022·陕西卷）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能12．（2022·重庆卷）对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【答案】C　【解析】圆x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径为，因为圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离d＝＝，因为0＜≤1＜，所以直线与圆相交但不过圆心．13．（2022·天津卷）设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)A．[1－，1＋]B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C．[2－2，2＋2]D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D　【解析】本题考查直线与圆相切条件、点到直线的距离公式及不等式的运用，考查运算求解能力及转化思想，偏难．∵直线与圆相切，∴＝1，整理得mn＝(m＋n)＋1，由基本不等式得(m＋n)＋1≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解之得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2.14．（2022·重庆卷）设平面点集A＝(x，y)(y－x)·y－≥0，B＝，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)A.πB.πC.πD.41\n15．（2022·课标全国卷）设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.【答案】C　【解析】根据题意，一定有∠PF1F2＝30°，且∠PF2x＝60°，故直线PF2的倾斜角是，设直线x＝a与x轴的交点为M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所以2c＝2，即4c＝3a，故e＝＝.故选C.16．（2022·天津卷）设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.【答案】解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.　①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得41\nx＝.②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|>.(方法二)依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，即(1＋k2)x＜a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞.17．（2022·陕西卷）已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．【答案】解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.41\n18．（2022·重庆卷）如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．41\n19．（2022·辽宁卷）如图1－7，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点．C1与C0相交于A，B，C，D四点．图1－7(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．证明：t＋t为定值．【答案】解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝(x－a)，②由①②得y2＝(x2－a2)．③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.41\n19．（2022·北京卷）已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．41\n因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0，即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．20．（2022·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．41\n21．（2022·安徽卷）如图1－5，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.41\n(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．图1－5即y＝x＋a.将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.41\n解得x＝－c，y＝，所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．22．（2022·福建卷）如图1－4，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，41\n得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，从而·＝－－3＋＋3＝0，故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.23．（2022·湖北卷）设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．41\n方法2：如图(2)、(3)，对任意x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(x－x)＋(y－y)＝0.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.于是由③式可得41\n＝－m2.④又Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，即＝.于是由④式可得kPQ·kPH＝·＝·＝－.而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又m＞0，得m＝，故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.24．（2022·江西卷）椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【答案】　【解析】考查椭圆的定义和性质、等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a，c的齐次等式，然后转化为离心率e的方程求解．由椭圆的定义知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，∵|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2＝(a－c)(a＋c)，整理得5c2＝a2，两边同除以a2得5e2＝1，解得e＝.25．（2022·山东卷）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】D　【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，中档题．由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为，代入选项A、C、D，知选项D正确．26．（2022·上海卷）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【答案】解：(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程组得41\n所以＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值．27．（2022·四川卷）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．【答案】3　【解析】如图，设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于C，41\n由椭圆第一定义，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4，而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，∴当且仅当AB过F′时，△ABF周长最大．此时，由c＝1，得A，B，即|AB|＝3，∴S△ABF＝|AB||FF′|＝3.【2022高考真题精选】（2022·安徽卷）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．【答案】①③⑤　【解析】①正确，比如直线y＝x＋，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．（2022·福建卷）已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．【解答】解法一：图1－641\n图1－2（2022·湖北卷）如图1－2，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(2，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是______________．【答案】　2＋y2＝1　【解析】(1)过点P′作PP′⊥α，垂足为P，过P作PM⊥y轴于M，连接P′M，则∠P′MP＝45°.又MP′＝2，所以MP＝2cos45°＝2.所以点P.41\n(2)设曲线C′上任意一点为，则该点在平面α内的射影为，故有即代入2＋2y′2－2＝0中，得2＋y2－1＝0，即2＋y2＝1.（2022·福建卷）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于(　　)A.或B.或2C.或2D.或【答案】A　【解析】设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.（2022·湖南卷）如图1－9，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.①证明：MD⊥ME；②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．图1－1041\n由得(1＋4k)x2－8k1x＝0.41\n（2022·江西卷）若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．【答案】＋＝1【解析】由题可知过点与圆x2＋y2＝1的圆心的直线方程为y＝x，由垂径定理可得kAB＝－2.显然过点的一条切线为直线x＝1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故c＝1.由点斜式可得，直线AB的方程为y＝－2(x－1)，即AB：2x＋y－2＝0.令x＝0得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.（2022·课标全国卷）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．【答案】＋＝1　41\n【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．因为离心率为，所以＝，解得＝，即a2＝2b2.图1－7又△ABF2的周长为＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2a＋2a＝4a，，所以4a＝16，a＝4，所以b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.（2022·陕西卷）图1－8如图1－8，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．＋41\n＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.（2022·浙江卷）设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若＝5，则点A的坐标是________．（2022·安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2B．2C．4D．4【答案】C　【解析】双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.（2022·全国卷）已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.【答案】6　【解析】根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.【2022高考真题精选】1.（2022江西理）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.41\n解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A2.（2022重庆理）(8)直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为A.B.C.D.【答案】C【解析】数形结合由圆的性质可知故3.（2022安徽理）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、B、C、D、和【答案】D41\n【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。4.（2022四川理）（14）直线与圆相交于A、B两点，则.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d＝故得|AB|＝2答案：25.（2022广东理）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是答案：．解析：设圆心为，则，解得【2022高考真题精选】1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A.B.C.D.【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.【答案】B2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。【答案】B3.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与41\n的距离为_______4.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为。5.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为。6.（2022江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。41\n关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。【2022年高考真题精选】1.（2022年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）.41\nA．3B．2C．D．答案A解析，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。2．（2022·江苏18）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆的方程；（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．41\n2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)A．－1B．1C．3D．－3【答案】B【解析】圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝041\n4．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)A．4x－4y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＝0D．x－y－2＝05．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)A．5B．10C．15D．206．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)A．[－1,1＋2]B．[1－2，1＋2]C.[1－2，3]D．[1－，3]【答案】C【解析】由y＝3－可知其图像为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，当直线y＝x＋b过点(0,3)时b＝3，当直线与圆相切时＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，故当1－2≤b≤3时直线和半圆有交点．7．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝48.高8m和4m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距10m41\n，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9.设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．【答案】－1【解析】由圆的对称性可知，当半径最大时，圆心在x轴上，设为(a,0)，(0<a<3)，并且圆与直线x＝3相切，同时与抛物线y2＝2x有两个关于x轴对称的公共点，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程联立，得x2－2(a－1)x＋6a－9＝0，由Δ＝4(a－1)2－4(6a－9)＝0，得：a＝4－，∴rmax＝3－a＝－1.10．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．11．如果直线l1：3x－4y－3＝0与直线l2关于直线x＝1对称，则直线l2的方程为________．【答案】3x＋4y－3＝0【解析】设P(x，y)是l2上任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点Q(2－x，y)在l1上，所以3(2－x)－4y－3＝0，整理得：3x＋4y－3＝0，此即直线l2的方程．12．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，若△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(2,2)之间距离的最小值为________．【答案】41\n【解析】∵△AOB为直角三角形，∴原点O到直线ax＋by＝1的距离为，∴＝，即a2＋b2＝2，又∵≤a2＋b2，∴－2≤a＋b≤2，∴于是点P(a，b)与点(2,2)之间的距离为d＝＝≥.13．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？14．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．41\n∴b2＋E·b＋F＝0.而F＝b，∴E＝－b－1.∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－by－y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有，解得或.经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．41\n16.已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.(Ⅰ)求圆的标准方程；（Ⅱ）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.41\n41\n41