【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学4.3平面向量的数量积练习一、选择题1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )A．－12 B．－6C．6D．12解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：D2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )A.B.C.D.解析：依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，则|a＋2b|＝，故选B.答案：B3．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝( )A．1B．2C．3D．4解析：据题意可得·＝·＝－||2＋·－·＋·＝－×()2＋××1×cos135°－××2×1×cos135°＋2×1×cos0°＝－－＋1＋2＝2.答案：B4．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|＞1⇔θ∈[0，)p2：|a＋b|＞1⇔θ∈(，π]p3：|a－b|＞1⇔θ∈[0，)p4：|a－b|＞1⇔θ∈(，π]其中的真命题是( )A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4解析：由|a＋b|＞1可得：a2＋2a·b＋b2＞1，4\n∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b＞－，故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1；由|a－b|＞1可得：a2－2a·b＋b2＞1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b＜，故θ∈(，π]，反之也成立，选A.答案：A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )A.－1B．1C.D．2解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：B6．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )A．4a－5b＝3B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14D．5a＋4b＝14解析：由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使⊥，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0得4a－5b－3＝0.答案：A二、填空题7．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：8．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.解析：依题意得(2e1－e2)2＝4e＋e－4e1·e2＝4＋1－4×12×cos60°＝3，故|2e1－e2|＝.答案：4\n9．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为边的三角形的面积为，故β的终点在如图的线段AB(α∥且圆心O到AB的距离为)上，因此夹角θ的取值范围为[，]．答案：[，]三、解答题10．已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0＜λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．∵⊥，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝，或λ＝.∴＝(2,1)，或＝(，)．∴存在M(2,1)，或M(，)满足题意．11．(2022·佛山质检)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解析：(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝＝≤4.4\n又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.(3)由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.12．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为π，且m·n＝－1.(1)求向量n；(2)△ABC中三内角A、B、C依次成等差数列，若向量n＝(0，－1)，向量p＝(cosA,2cos2)，求|n＋p|的取值范围．解析：(1)设n＝(x，y)，由m·n＝－1，可得x＋y＝－1，①又m与n的夹角为π，有m·n＝|m|·|n|·cosπ，则x2＋y2＝1，②由①、②解得或.∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．(2)由2B＝A＋C知B＝，A＋C＝，0＜A＜，若n＝(0，－1)，则n＋p＝(cosA,2cos2－1)＝(cosA，cosC)，∴|n＋p|2＝cos2A＋cos2C＝＋＝1＋[cos2A＋cos(－2A)]＝1＋cos(2A＋)，∵0＜A＜，＜2A＋＜，∴－1≤cos(2A＋)＜，≤1＋cos(2A＋)＜，即|n＋p|2∈[，)，∴|n＋p|∈[，)．4
