考点规范练39 空间点、直线、平面之间的位置关系一、非标准1.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) A.相交B.异面C.平行D.垂直2.(2022广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A.1B.2C.3D.44.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)6.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是 . 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一个平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 . 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,\n(1)求A1C1与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.9.(2022课标全国Ⅱ,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.10.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )A.1条B.2条C.3条D.4条11.如图,在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )\nA.B.C.D.12.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面的对角线,则在正方体中,l1与l2( )A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为D.相交且夹角为13.如图所示,点A是平面BCD外一点,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为 . 14.(2022陕西,文17)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.\n15.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.##一、非标准1.A 解析:如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.2.D 解析:如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.3.B 解析:有2条:A1B和A1C1.4.D 解析:(方法一)在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面(如图1),这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.故选D.\n图1(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α(如图2),图2因为CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.5.A 解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.6.0 解析:∵a⊥b,b⊥c,∴a与c可以相交、平行、异面,故①错.∵a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故②错.由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故③错.同理④错,故真命题的个数为0.7.4 解析:取CD的中点为G,由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.8.解:(1)如图,连接AC,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图,连接BD,由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.又∵AC⊥BD,∴AC⊥EF,即所求角为90°.\n∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.9.(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解:V=PA·AB·AD=AB,由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=.所以A到平面PBC的距离为.10.D 解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等.∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.11.D 解析:连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,设AB=1,则AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1=.12.D 解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,\n所以l1与l2的夹角为.故选D.13.90° 解析:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,故EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=1.即∠EGF为所求.又EF=,由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°.14.(1)解:由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体体积V=×2×2×1=.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.15.解:(1)由已知得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角).∵OA⊥底面ABCD,∴OA⊥AD,OA⊥AC,∴MD=.∵四边形ABCD为正方形,∴AE=ED=AC=,∵ME=.∵()2+()2=()2,\n∴△DEM为直角三角形.∴tan∠EMD=.
