空间中直线、平面的垂直1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3)，平面α的法向量为n=(-3,6,-9)，则()A.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.l与α相交答案：C2.（2020辽宁大连瓦房店高级中学高二月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1)，则直线PA与底面ABCD的位置关系是()A.平行B.垂直C.在平面内D.成60∘角答案：B3.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m)，若l1⊥l2，则实数m等于()A.1B.2C.3D.4答案：B4.（2020北京怀柔高二期末）若d=(1,1,-2)是直线l的方向向量，n=(-1,3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是()A.直线l在平面α内B.平行C.相交但不垂直D.垂直答案：C5.（多选题）（2021山东济宁曲阜一中高二段测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案：ACD6.（多选题）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则()11
A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.该正方体被平面AEF截得的截面的面积为98D.直线EF与直线GC垂直答案：BC7.（2021安徽蚌埠田家炳中学高二月考）已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3)，若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC，则BP=()A.(207,-157,-3)B.(407,-157,-3)C.(337,157,-3)D.(337,-157,-3)答案：D8.（2020陕西渭南高二期末）设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是.答案：49.长方体ABCD-A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截,α分别与棱CC1,AA1交于点M,N,得到截面BMD1N.如图所示，已知AB=BC=1,DD1=3.求证：MN⊥BD.答案：证明以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，11
则D(0,0,0),B(1,1,0)，依题意易得AN+CM=DD1=3，设N(1,0,t)(t∈[0,3])，则M(0,1,3-t)，所以MN=(1,-1,2t-3)，又DB=(1,1,0)，所以MN⋅DB=0，所以MN⊥BD.素养提升练10.（多选题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,M,N,H,R分别为其所在棱的中点，则下列说法中正确的是()A.直线AD1∥平面MNPB.HD1⊥CQC.P,Q,H,R四点共面D.A1C1⊥平面AB1D1答案：AC解析：因为M,N分别为A1B1,C1D1的中点，所以MN∥A1D1,又因为MN⊄平面ADD1A1,A1D1⊂平面ADD1A1,所以MN∥平面ADD1A1,同理可得NP∥平面ADD1A1,又因为MN∩NP=N,MN,NP⊂平面MNP，所以平面MNP∥平面ADD1A1，又因为AD1⊂平面MNP，所以AD1∥平面MNP，故A中说法正确;设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图11
所以D1(0,0,2),H(2,0,1),C(0,2,0),Q(1,0,0),则HD1=(-2,0,1),CQ=(1,-2,0),所以HD1⋅CQ=-2+0+0≠0,所以HD1与CQ不垂直，故B中说法错误；连接AC，因为H,R分别是AA1,CC1的中点，所以HR∥AC，又因为Q,P分别为AD,DC的中点，所以QP∥AC，所以PQ∥HR，故P,Q,H,R四点共面，所以C中说法正确;易知A(2,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以AB1=(0,2,2),AD1=(-2,0,2),A1C1=(-2,2,0),因为A1C1⋅AB1≠0,AD1⋅A1C1≠0,所以直线A1C1不垂直于平面AB1D1，故D中说法错误.综上，A、C正确.11.（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH答案：BCD解析：设正方体的棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，11
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,12,0),C(0,1,0),F(0,1,12),C1(0,1,1),H(0,12,1),G(12,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),所以A1E=(0,12,-1),AC1=(-1,1,1),BF=(-1,0,12),DG=(12,0,1),CH=(0,-12,1)，因为A1E⋅AC1=-12≠0,所以A1E与AC1不垂直，故A中结论错误;易知平面ADD1A1的一个法向量为v=(0,1,0).因为BF⋅v=0,所以BF∥平面ADD1A1,故B中结论正确;因为BF⋅DG=0，所以BF⊥DG，故C中结论正确;因为A1E=-CH,所以A1E∥CH,故D中结论正确.12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，CC1⊥BC,BC=1,AB=2.（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC1;（2）在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1？若存在，求出BMBA1的值;若不存在，请说明理由.11
答案：（1）证明：易知AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，因为CC1⊥BC,CC1∩AC=C,AC,CC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,又AC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.又四边形AA1C1C是边长为3的正方形，所以AC1⊥A1C.又BC∩A1C=C,BC,A1C⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,又AC1⊂平面ABC1,所以平面A1BC⊥平面ABC1.（2）存在.由（1）得，CA,CB,CC1两两垂直，故以点C为原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3,0,0),C(0,0,0),B(0,1,0),A1(3,0,3),C1(0,0,3),设M(x,y,z)，则BM=λBA1(0≤λ≤1)，所以(x,y-1,z)=λ(3,-1,3)，解得x=3λ,y=1-λ,z=3λ,所以CM=(3λ,1λ,3λ),C1B=(0,1,-3),要使CM⊥BC1，则CM⋅C1B=0,即1-λ-3λ=0,解得λ=14，故在线段A1B上存在点M,使得CM⊥BC1,且BMBA1=14.13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E、F分别为线段A1C1、AB、A1A的中点，A1A=AC=BC,∠ACB=90∘.求证：11
（1）DE∥平面BCC1B1;（2）EF⊥平面B1CE.答案：（1）证明根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设A1A=AC=BC=2，则A(2,0,0),C(0,0,0),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1),所以CA=(2,0,0),DE=(0,1,-2),EF=(1,-1,1),CB1=(0,2,2),EB1=(-1,1,2).显然CA=(2,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量，因为DE⋅CA=0，所以DE⊥CA.因为DE⊄平面BCC1B1,所以DE∥平面BCC1B1.（2）设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z),则n⋅CB1=2y+2z=0,n⋅EB1=-x+y+2z=0,令z=-1，则y=1,x=-1，即n=(-1,1,-1)，显然EF∥n,所以EF⊥平面B1CE.14.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.求证：平面ACEF⊥平面BDF.11
答案：证明∵四边形ACEF为矩形，∴CE⊥AC，∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，∴CE⊥平面ABCD，又∵四边形ABCD为正方形，∴以点C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1),M(22,22,1)，∴AM=(-22,-22,1),DF=(0,2,1),BD=(2,-2,0).设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD,n⊥DF,∴n⋅BD=2x-2y=0,n⋅DF=2y+z=0,取y=1，得x=1,z=-2，则n=(1,1,-2).∵n=-2AM,∴n与AM共线，∴AM⊥平面BDF，又AM⊂平面ACEF，∴平面ACEF⊥平面BDF.创新拓展练11
15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上（不含端点）.（1）是否存在点E，使PC⊥平面BDE？请说明理由；（2）是否存在点E，使平面PCD⊥平面AED？请说明理由.命题分析本题考查了利用空间向量证明线面垂直和面面垂直.答题要领建立空间直角坐标系，设AB=a,AP=c,a＞0,c＞0，写出各点坐标及向量坐标.（1）利用PE=λPC,BE=PE-PB,将BE用坐标表示，设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量，利用向量垂直数量积为0可得方程组，再利用PC∥n，即可求出λ的值.（2）设n1=(x1,y1,z1)是平面PCD的法向量，n2=(x2,y2,z2)是平面AED的法向量，若平面PCD⊥平面AED，则n1⋅n2=0，可得方程.若方程无解，则说明点E不存在，若方程有解，则说明点E存在.详细解析（1）∵底面ABCD为正方形，∴AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，∴以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=a,AP=c,a＞0,c＞0，则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c),11
∴BD=(-a,a,0),PC=(a,a,-c),PB=(a,0,-c),DC=(a,0,0),PA=(0,0,-c),AD=(0,a,0).设PE=λPC,0＜λ＜1，则BE=PE-PB=λPC-PB=λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa-a,λa,c-λc)，设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量，则n⋅BD=0,n⋅BE=0,即-ax+ay=0,(λa-a)x+λay+(c-λc)z=0,令x=1，则y=1,z=a-2aλc-λc，∴n=(1,1,a-2aλc-λc)是平面BDE的一个法向量，若PC⊥平面BDE，则PC∥n，∴a1=-ca-2aλc-λc,解得λ=c2+a22a2+c2,即存在点E，使得PC⊥平面BDE.（2）设n1=(x1,y1,z1)是平面PCD的法向量，则n1⋅PC=ax1+ay1-cz1=0,n1⋅DC=ax1=0,令y1=c,则x1=0,z1=a,∴n1=(0,c,a)是平面PCD的一个法向量.设PE=μPC,0＜μ＜1，则AE=PE-PA=μPC-PA=(μa,μa,c-μc).设n2=(x2,y2,z2)是平面AED的法向量，则n2⋅AE=μax2+μay2+cz2-μcz2=0,n2⋅AD=ay2=0,令x2=-c,则z2=μa1-μ,y2=0,∴n2=(-c,0,μa1-μ)是平面AED的一个法向量.∵平面PCD⊥平面AED，∴n1⋅n2=0,即μa21-μ=0，此方程无解，∴不存在点E，使n1⊥n2，即不存在点E，使平面PCD⊥平面AED.11
解题感悟（1）用向量法判定线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直.（2）用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是不是0.11
