用空间向量研究距离问题1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为()A.223B.1C.2D.22答案：A2.已知点M(0,1,-2)，平面α过原点O且垂直于向量n=(1,-2,2)，则点M到平面α的距离为()A.3B.2C.6D.6答案：B3.如图，在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中，F是平面A1B1C1D1的中心，E是AA1的中点，则直线EF到直线AC1的距离为()A.12B.66C.64D.63答案：B4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为()A.433B.26C.25D.32答案：D5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36B.33C.233D.32答案：B6.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，则下列说法正确的有()A.AC⊥PB8
B.点C到直线PA的距离为27C.直线AB到平面PDC的距离为22D.点D到平面PBC的距离为4217答案：B;D7.（2021江苏南京江浦中学高二检测）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则点A1到平面ABD的距离为()A.63B.263C.53D.253答案：B8.（2021山东师大附中高二月考）在四棱锥P-ABCD中，AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),AP=(3,-1,4)，则该四棱锥的高为()A.55B.15C.25D.255答案：A9.（2021北京科大附中高二期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2,AD=1，点F,G分别是AB,CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为.答案：42310.（2021山东济宁实验中学高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则点A1到平面AB1E的距离为.答案：23素养提升练11.（多选题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、O分别是A1B1、A1C1的中点，P在该正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1，则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是55B.点O到平面ABC1D1的距离为24C.平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33D.点P到直线AB的距离为25368
答案：B;C解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(12,0,1),O(12,12,1)，所以AB=(1,0,0),BE=(-12,0,1)，所以A到直线BE的距离d1=AB2-(AB⋅BE|BE|)2=1-15=255，故A中说法错误；易知C1O=(-12,-12,0)，平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1⋅C1O||DA1|=122=24，故B中说法正确；易知A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1B=0,n⋅A1D=0,即x-z=0,y-z=0,令z=1，得y=1,x=1，所以n=(1,1,1)，所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1⋅n||n|=13=33.因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33，故C中说法正确；易知AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1)，且AP=34AB+12AD+23AA1.所以AP=(34,12,23)，所以点P到AB的距离d=AP2-(AP⋅AB|AB|)2=181144-916=56，故D中说法错误.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，E是AA1的中点，则点D1到AC的距离为；CA1到平面BDE的距离是.答案：62;66解析：以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，8
则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),E(0,0,12),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1).设M为AC的中点，则M(12,12,0).因为AD1=CD1，所以MD1的长即为点D1到AC的距离.易知|MD1|=62,所以点D1到AC的距离为62.易知CA1∥平面BDE，所以直线CA1上任一点到平面BDE的距离都相等，设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，易知BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,12),EA1=(0,0,12)，所以n⋅BD=-x+y=0,n⋅BE=-x+12z=0,令x=1，则y=1,z=2，所以n=(1,1,2)，所以CA1到平面BDE的距离d=|EA1⋅n||n|=16=66.13.（2021山东济宁鱼台一中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=O，平面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA=PC，且∠ABC=60∘，异面直线PB与CD所成的角为60∘.（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PC⊥BD，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面APC，∴BD⊥平面APC，∵PO⊂平面APC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又AC∩BD=O，AC,BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.（2）以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，8
∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成的角，∴∠PBA=60∘，∵在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60∘，∴OA=1,OB=3，设PO=a,a>0，则PA=a2+1,PB=a2+3，在△PBA中，由余弦定理得，PA2=BA2+BP2-2BA⋅BP⋅cos∠PBA，∴a2+1=4+a2+3-2×2×a2+3×12，解得a=6（负值舍去），∴O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,6),E(0,12,0)，∴BE=(-3,12,0),BP=(-3,0,6)，∴|BE|=132,|BP|=3，∴点E到直线BP的距离d=BE2-(BE⋅BP|BP|)2=134-1=32.14.（2021山东菏泽单县五中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3,BC=1,PA=2，E为PD的中点.在侧面PAB内找出一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到平面PAC的距离.答案：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),D(0,1,0),E(0,12,1)，设N(a,0,c)，则NE=(-a,12,1-c),AP=(0,0,2),AC=(3,1,0)，使NE⊥平面PAC，∴NE⋅AP=2(1-c)=0,NE⋅AC=-3a+12=0,解得a=36,c=1，∴N(36,0,1)，8
∴NA=(-36,0,-1),NE=(-36,12,0)，设N到平面PAC的距离为d，则d=|NA⋅NE||NE|=312.15.（2021山东淄博高二期末）已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A,B,C,M的坐标分别是(2,0,2),(2,1,0),(0,4,-1),(2,3,-1)，过点A，B，C的平面记为α.（1）证明：点A,B,C,M不共面；（2）求点M到平面α的距离.答案：（1）证明：由已知可得AB=(0,1,-2),AC=(-2,4,-3),AM=(0,3,-3)，假设A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使得AB=λAC,即(0,1,-2)=λ(-2,4,-3)，所以0=-2λ,1=4λ,-2=-3λ,此方程组无解，所以AB,AC不共线，所以A，B，C不共线，所以过点A，B，C的平面α是唯一的，若点A,B,C,M共面，则存在x,y∈R，使得AM=xAB+yAC，即(0,3,-3)=x(0,1,-2)+y(-2,4,-3)，即0=-2y,3=x+4y,-3=-2x-3y,此方程组无解，即不存在实数x,y，使得AM=xAB+yAC，所以点A,B,C,M不共面.（2）设平面α的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AB=0,m⋅AC=0,所以b-2c=0,-2a+4b-3c=0,令c=2，则b=4,a=5，所以m=(5,4,2)，所以点M到平面α的距离dM=|AM⋅m||m|=255.创新拓展练16.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF的中点.8
（1）求M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积；（2）求证：DM⊥平面ACE.命题分析本题考查了利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥的体积，考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查了推理能力与计算能力.答题要领（1）设AC∩BD=O，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出点M到平面DEC的距离，计算出△CDE的面积，利用三棱锥的体积公式可计算出三棱锥M-CDE的体积.（2）答题要领利用向量法证明出AC⋅DM=0,AE⋅DM=0，可得出DM⊥AC,DM⊥AE，再利用线面垂直的判定定理可证得DM⊥平面ACE.细解析（1）详设AC∩BD=O，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.易知z轴在平面BDEF内，且BF∥DE∥z轴，则C(0,3,0)、D(-1,0,0)、E(-1,0,2)、M(1,0,1)，∴DE=(0,0,2),DC=(1,3,0),DM=(2,0,1)，设平面DEC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DE=2z=0,n⋅DC=x+3y=0,取x=3，得n=(3,-1,0)，∴M到平面DEC的距离h=|DM⋅n||n|=233+1=3，又S△DEC=12×2×2=2，∴三棱锥M-CDE的体积V=13×S△DEC×h=13×2×3=233.（2）证明：由（1）知A(0,-3,0)，则AC=(0,23,0),AE=(-1,3,2)，8
∵AC⋅DM=0×2+23×0+0×1=0,AE⋅DM=-1×2+3×0+2×1=0，∴DM⊥AC,DM⊥AE，∵AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE，∴DM⊥平面ACE.解题感悟求点到平面的距离的主要方法：（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；（2）在三棱锥中用等体积法求解；（3）向量法，d=|n⋅MA||n|（n为平面的法向量，A为平面内一点，MA为过点A的斜线段）.8
