习题课一、基础过关1．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.2．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.3．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数为________函数(填“增”“减”“常”)．4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么当x<0时，f(x)＝________.7．已知函数f(x)＝，(1)求f的值；(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象；(无需列表)(3)结合图象判断函数的奇偶性，并写出函数的值域和单调增区间．-5-\n8．已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(－3)＝2，且对任意的实数a∈R有f(－a)＋f(a)＝0恒成立．(1)试判断f(x)在R上的单调性，并说明理由；(2)解关于x的不等式f<2.二、能力提升9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.10．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是________________．11．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝______.12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．-5-\n三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为常数)，x∈R.F(x)＝.(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设m·n<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零？-5-\n答案1.2．03．增4．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.6．－x2＋x＋17．解 (1)f＝f＝.(2)函数图象为(3)根据图象可知函数是偶函数，值域为[0，＋∞)，单调增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．8．解 (1)f(x)是R上的减函数．理由如下：由f(－a)＋f(a)＝0可得f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在R上是单调函数．由f(－3)＝2，得f(0)<f(－3)，∴f(x)为R上的减函数．(2)由f(－3)＝2，又由于f<f(－3)，又由(1)可得>－3，即>0，解得x>0.∴不等式的解集为{x|x>0}．9．－0.510．f()<f(1)<f()11．－312．解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a＝0时，f(x)＝-5-\n，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1)，1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．(2)任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－)．∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立．∵x1>x2≥3，＋<＋＝，∴a≥.13．解 (1)由题意，得：，解得：，所以F(x)的表达式为：F(x)＝.(2)g(x)＝x2＋(2－k)x＋1，图象的对称轴为x＝－＝，由题意，得≤－2或≥2，解得k≥6或k≤－2.(3)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝ax2＋1，F(x)＝.∵m·n<0，不妨设m>n，则n<0.又m＋n>0，则m>－n>0，∴|m|>|n|.F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－an2－1＝a(m2－n2)>0，∴F(m)＋F(n)大于零．-5-
