本章复习提升易混易错练易错点1 忽略直线斜率与倾斜角之间的变化关系致错1.(2021山西怀仁一中高二上月考,)已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为 .易错 易错点2 忽略隐含条件导致计算错误2.()两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为( 易错 )A.235B.2310C.7D.723.()已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若l1∥l2,求实数m的值.易错易错点3 忽略应用特殊形式直线方程的适用范围,缺少分类讨论致错4.(2020辽宁朝阳高二上期末联考,)已知直线l过点(1,2),且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为( 易错 )A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或x+2y-2=0D.2x-y=0或2x+y-4=05.()已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.易错点4 忽视圆的一般方程表示圆的条件致错6.(2020辽宁六校协作体高二上10月月考,)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为( 易错 )A.1B.-1C.-1或1D.07.()当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14x+k=0相交、相切、相离?易错点5 两圆相切问题中考虑不全面致错8.()已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( 易错 )10,A.(x-5)2+(y-7)2=25B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y-7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=99.()已知圆C:x2+y2-4x+3=0.(1)求过点M(3,2)的圆的切线方程;(2)直线l过点N32,12且被圆C截得的弦长为m,求m的范围;(3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为3,且与x2+y2=16相内切,求圆E的标准方程.思想方法练一、函数与方程思想在直线与圆中的应用1.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.(1)求公共弦所在的直线方程;(2)求公共弦的长度.2.()已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.(1)当切线PA的长度为43时,求线段PM的长度;(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若过,求出所有的定点的坐标;若不过,说明理由;(3)求线段AB长度的最小值.10,二、分类讨论思想在直线与圆中的应用3.()已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,那么a的值为 . 4.(2020安徽安庆二中高二上期末,)已知圆C的圆心为(1,1),直线x+y-4=0与圆C相切.(1)求圆C的标准方程;(2)若直线l过点(2,3),且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.三、转化与化归思想在直线与圆中的应用5.(2020山东德州高二上期末,)点P在直线y=x上,过点P作圆C:x2+y2-6x+8=0的切线PA和PB,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为( )A.142B.14C.322D.326.()如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求:(1)yx的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值;(3)(x-2)2+y2的最大值与最小值.四、数形结合思想在直线与圆中的应用7.()若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°,其中O为原点,则k的值为( ) A.-3或3B.3C.-2或2D.210,答案全解全析易混易错练1.答案 0,π4∪3π4,π解析 如图所示.设直线l过A点时斜率为k1,直线l过B点时斜率为k2,则k1=1-02-1=1,k2=-3-04-1=-1,所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围为[-1,1],所以l倾斜角的取值范围为0,π4∪3π4,π.易错警示 求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,将斜率的范围分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的范围分成两个部分.2.D 由两直线平行知,a=6,此时,两直线方程分别为6x+8y-24=0,6x+8y+11=0,∴两直线间的距离d=|-24-11|62+82=3510=72,故选D.易错警示 求两平行线之间的距离时,要将一次项系数化为相等,才能运用公式,解题时要防止错用公式导致结论错误.3.解析 依题意得,1·3m-m2·(m-2)=0,且1·2m-6·(m-2)≠0,化简得m(m2-2m-3)=0,且m≠3,所以m=0或m=-1.故所求实数m的值为0或-1.易错警示 解决判断一般式直线方程的位置关系的问题时,一要防止默认斜率存在导致漏解(如本题中漏掉m=0),二要防止不排除重合的情况(如本题中m=3)造成解题错误.4.D 根据题意,直线l分2种情况讨论:①当直线过原点时,由直线经过点(1,2),知所求直线方程为y=2x,即2x-y=0;10,②当直线不过原点时,设直线l的方程为xa+y2a=1,代入点(1,2)得1a+22a=1,解得a=2,此时直线l的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0.故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.故选D.易错警示 在利用直线的截距式方程解决相关直线问题时,注意分析直线的截距为0是否适合题意,防止漏解导致错误.5.解析 解方程组3x+4y-5=0,2x-3y+8=0,得x=-1,y=2,即交点坐标为(-1,2).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意得|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,所以直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.6.B 圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.依题意得-1=-k2,k4-4k+1>0,所以k=-1,故选B.易错警示 解关于圆的一般方程问题时,忽视D2+E2-4F>0导致错误,如本题忽视k4-4k+1>0,仅由-1=-k2得k=±1导致错误.7.解析 要想C2表示圆,则(-2)2+(-14)2-4k>0,解得k<50.将两圆的一般方程化为标准方程,得C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k(k<50),则圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=50-k(k<50).从而|C1C2|=(-2-1)2+(3-7)2=5.当1+50-k=5,即k=34时,两圆外切.10,当|50-k-1|=5,即k=14时,两圆内切.当|r2-r1|<|C1C2|<r2+r1,即14<k<34时,两圆相交.当1+50-k<5或|50-k-1|>5,即34<k<50或k<14时,两圆相离.8.d>0),与圆C相交于A,B两点,∵|AB|=3,∴两点的纵坐标分别为32,-32,将y2=34代入圆C的方程,得x=32或x=52,∴32,±32或52,±32在圆E上.∵圆E内切于x2+y2=16,∴圆E经过点(4,0)或(-4,0),若圆E经过32,±32和(4,0),则其标准方程为x-1352+y2=4925,若圆E经过52,±32和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1,若圆E经过32,±32和(-4,0),则其标准方程为x+13112+y2=31112=961121,若圆E经过52,±32和(-4,0),则其标准方程为x+9132+y2=43132=1849169.10,思想方法练1.解析 (1)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.(2)联立方程构成方程组,利用方程知识解决问题.两方程联立,得方程组x2+y2-2x+10y-24=0,①x2+y2+2x+2y-8=0,②两式相减得x=2y-4,③把③代入②得y2-2y=0,所以y1=0,y2=2.所以x1=-4,y1=0,x2=0,y2=2,所以交点坐标为(-4,0)和(0,2).所以两圆的公共弦长为(-4-0)2+(0-2)2=25.思想方法 方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.在解析几何中,建立坐标系,利用代数方法构造方程(或方程组),通过解方程(或方程组)的知识解决直线与圆的问题,是一种最基本的方法.2.解析 (1)由题意知,圆M的半径r=4,圆心M(0,6),∵PA是圆的一条切线,∴∠MAP=90°.∴|PM|=AM2+AP2=8.(2)圆N过定点.设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,∴圆心Na,a+62,半径为|PM|2=5a2-12a+362,∴圆N的方程为(x-a)2+y-a+622=5a2-12a+364,即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,联立方程构成方程组,利用方程知识解决问题.由-2x-y+6=0,x2+y2-6y=0,解得x=0,y=6或x=125,y=65,∴圆N过定点(0,6)和125,65.(3)由(2)知,圆N的方程为(x-a)2+y-a+622=5a2-12a+364,即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,②10,消去二次项,得到一次方程,利用方程知识得到公共弦方程.②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程.又圆心M(0,6)到直线AB的距离d=|(a-6)×6+20-6a|(2a)2+(a-6)2=165a2-12a+36,∴|AB|=2r2-d2=216-d2=81-165a-652+1445,∴当a=65时,线段AB的长度有最小值163.3.答案 5或-6解析 因为直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),且2≠-1,所以l2的斜率存在,而l1的斜率可能不存在,下面对a进行讨论.利用斜率解决含参数的问题时,要分斜率存在与不存在两种情况进行讨论.当a-2=3,即a=5时,l1的斜率不存在,l2的斜率为0,此时满足l1⊥l2.当a-2≠3,即a≠5时,直线l1,l2的斜率均存在,设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.由l1⊥l2得k1k2=-1,即-3-aa-2-3·a-2-3-1-2=-1,解得a=-6.综上,a的值为5或-6.4.解析 (1)圆心C(1,1)到直线x+y-4=0的距离d=|1+1-4|2=2.因为直线x+y-4=0与圆C相切,所以圆C的半径r=d=2.所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,圆心到直线l的距离d'=|2-k|k2+1.又d'2+1=2,所以d'=1.所以k=34.所以直线l的方程为3x-4y+6=0.②当l的斜率不存在时,x=2,代入圆的方程可得(y-1)2=1,解得y=0或y=2,可得弦长为2,满足条件.故直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.利用直线的点斜式求直线方程,若直线的斜10,率不存在适合题意,要对斜率进行讨论.5.A 将圆的方程x2+y2-6x+8=0化为标准方程为(x-3)2+y2=1,则圆心C(3,0),半径r=1,根据题意,四边形面积最小等价于切线长PA,PB最小,进而转化为圆心与点P的距离最小,点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离,利用几何性质,对运算目标进行转化,将切线段PA的长转化为P点到圆心的距离,再将P点到圆心的距离的最小值转化为圆心到直线的距离.又圆心到直线的距离d=312+(-1)2=322,∴|PA|=|PB|=3222-12=142,∴S四边形PACB=2|PA|r2=142,故选A.6.解析 设P(x,y),则P点的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.(1)yx的几何意义是直线OP(O是原点)的斜率.利用几何意义将代数式yx转化为斜率,利用斜率构造直线,利用直线与圆的位置关系解决问题.设yx=k,则直线OP的方程为y=kx.由图可知,当直线OP与圆相切时,斜率取得最值.因为点C到直线y=kx的距离d=|3k-3|k2+1,所以当|3k-3|k2+1=6,即k=3±22时,直线OP与圆C相切,所以yx的最大值与最小值分别是3+22,3-22.(2)设x+y=b,则y=-x+b.由图知,当直线与圆C相切时,截距b取得最值.10,设x+y=b,利用几何意义将代数式x+y转化为直线y=-x+b在y轴上的截距b,构造直线,利用直线与圆的位置关系解决问题.而圆心C到直线y=-x+b的距离d=|6-b|2.因为当|6-b|2=6,即b=6±23时,直线y=-x+b与圆C相切,所以x+y的最大值与最小值分别为6+23,6-23.(3)代数式(x-2)2+y2的几何意义是圆C上的点到定点(2,0)的距离.利用几何意义将代数式(x-2)2+y2转化为圆上一点P(x,y)与A(2,0)两点间距离,利用点与圆的位置关系解决问题.因为圆心(3,3)与定点(2,0)间的距离是(3-2)2+32=10,圆的半径是6,所以定点(2,0)在圆外,所以(x-2)2+y2的最大值是10+6,最小值是10-6.思想方法 转化与化归思想是指在研究数学问题时,采用某种手段将问题转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为简单的问题,将较难的问题化归为较容易求解的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题.转化与化归思想在解析几何中常表现为:一般性点或图形问题转化为特殊点或图形,特殊结构的代数式、函数、方程等,充分发掘其相关几何意义,转化为与斜率公式、距离公式等有关的问题进行解决.7.A 如图所示,直线y=kx+1过定点P(0,1)且P在圆上,∵∠POQ=120°,∴∠OPQ=30°⇒∠1=120°,∠2=60°,利用几何图形,得到角的关系,进一步得到斜率.∴k=±3.故选A.10</k<50或k<14时,两圆相离.8.d></r2+r1,即14<k<34时,两圆相交.当1+50-k<5或|50-k-1|>
