专题强化练5 圆的方程及其应用一、选择题1.(2020江西南昌二中高二上期中,)在平面直角坐标系中,已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点,则线段AB的中点M的轨迹方程是( )A.x-322+y-322=1B.x-322+y-322=4C.(x-3)2+(y-3)2=1D.(x-3)2+(y-3)2=22.(2020四川眉山高二上期末教学质量检测,)过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程为( )A.x+1352+y-652=1625B.x+1352+y-652=45C.x+1352+y-852=1625D.x+1352+y-852=453.()若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是( )A.[1-2,1+2]B.[1-2,3]C.[1-22,3]D.[-1,1+2]4.(多选)()半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=365.(多选)()已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( )A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0D.3x-2y-1=0二、填空题6.(2021河北衡水安平中学高二上月考,)若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是 . 7.(2020广东佛山一中高二上期中,)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,与x轴交于C,D两点,若|AB|=23,则m= ,|CD|= . 4
8.(2021江西南昌二中高二上月考,)点P(-3,1)在动直线m(x-1)+n(y-1)=0上的投影为点M,若点N(3,3),那么|MN|的最小值为 . 三、解答题9.(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考,)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;(3)求满足条件|PM|=2|PO|的点P的轨迹方程.答案全解全析一、选择题1.A 设B(m,n),M(x,y),则根据中点坐标公式得m=2x-4,n=2y-3,由点B在圆(x+1)2+y2=4上,将点B(2x-4,2y-3)代入圆的方程,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即x-322+y-322=1,故选A.2.B 由题知,圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心为C(-1,2),半径r=2.设直线l与圆C的交点为A、B,如图,过C作CD⊥AB,则经过A、B两点面积最小的圆是以AB为直径的圆.由直线l的方程为2x+y+4=0,CD⊥AB可得,kCD=12,所以CD所在直线的方程为y-2=12(x+1),联立2x+y+4=0,y-2=12(x+1),得x=-135,y=65,即D-135,65.又圆心C到直线l的距离d=|2×(-1)+2+4|22+12=455,所以|BD|=r2-d2=22-4552=255,所以以AB为直径的圆的方程为x+1352+y-652=45.故选B.4
3.C 如图所示,曲线y=3-4x-x2,即(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4),表示以A(2,3)为圆心,2为半径的圆的下半部分,当直线与圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,即|2-3+b|2=2,解得b=1+22(舍去)或b=1-22.结合图形可知,直线y=x+b经过点(0,3)时,b取到最大值3,所以b的取值范围是1-22≤b≤3,故选C.4.CD 由题意设圆心坐标为(a,6),∵所求圆与圆x2+(y-3)2=1内切,∴a2+32=5,解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.5.AB 依题意,可设直线l:y-4=k(x-3)(k≠0),即kx-y+4-3k=0,则有|-5k+2|k2+1=|k+6|k2+1,因此-5k+2=k+6或-5k+2=-(k+6),解得k=-23或k=2,故直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.二、填空题6.答案 22解析 以线段AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,不妨设A(1,0),B(-1,0),P(x,y),则(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2,化简得(x+3)2+y2=8,如图,当点P到AB(x轴)的距离最大,即P的纵坐标为22时,△PAB的面积最大,4
∴△PAB面积的最大值是12×2×22=22.7.答案 -33;4解析 设圆心到直线的距离为d,则|AB|22+d2=r2⇒3+d2=12⇒d=3,∴|3m-3|m2+1=3,化简得3m+1=0,解得m=-33.可得直线l的方程为y=33x+23,其倾斜角为30°.如图所示,作CE⊥BD于E,则CE∥AB,∴∠ECD=30°,又知在Rt△CDE中,CE=23,∴|CD|=|CE|cos30°=2332=4.8.答案 25-2解析 因为直线m(x-1)+n(y-1)=0过定点(1,1),设其为A,且PM⊥AM,所以M的轨迹是以PA为直径的圆,且圆心为(-1,1),设其为C,半径R=2,所以|MN|min=|CN|-R=[3-(-1)]2+22-2=25-2.三、解答题9.解析 (1)圆C:x2+y2+2x-4y+m=0化为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5-m,故圆C的圆心坐标为(-1,2).由于圆C与y轴相切,所以5-m=1,得m=4,所以圆C的半径为1.(2)当过点P(-2,4)的直线斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1,所以直线l:x=-2为圆C的切线.当过点P(-2,4)的直线斜率存在时,设直线方程为y=k(x+2)+4,由直线与圆相切得|k+2|k2+1=1,解得k=-34,此时切线l的方程为y=-34x+52.综上,满足条件的切线l的方程为x=-2或y=-34x+52.(3)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-1,|PO|2=x2+y2.由于|PM|=2|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2),整理得x-132+y+232=179,所以点P的轨迹是以13,-23为圆心,173为半径的圆.4
