综合拔高练五年高考练考点1 直线方程及其应用1.(2020课标全国Ⅲ文,8,5分,)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )A.1B.2C.3D.22.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 考点2 圆的方程及其应用3.(2020课标全国Ⅰ文,6,5分,)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.44.(2020课标全国Ⅱ理,5,5分,)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )A.55B.255C.355D.4555.(2020北京,5,4分,)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.76.(2020课标全国Ⅰ理,11,5分,)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( ) A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=07.(2020浙江,15,6分,)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= . 8.(2020天津,12,5分,)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 . 9.(2019江苏,18,16分,)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB和桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;11,(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.三年模拟练应用实践1.(2020湖南五市十校高二上期中,)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,里面证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比值为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足|MA||MB|=2,则动点M的轨迹方程为( ) A.x2+(y-5)2=9B.x2+(y+5)2=9C.(x-5)2+y2=16D.(x+5)2+y2=162.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( )A.5-1B.2C.3D.53.(2021江西南昌二中高二上月考,)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E、F,则PE·PF的最小值是( )A.6B.5C.4D.34.(多选)(2020辽宁葫芦岛高二上期末,)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为( )A.4B.6C.32+1D.85.(多选)(2020山东德州高三上期末,)已知点A是直线l:x+y-2=0上一定点,点P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标是( )A.(0,2)B.(1,2-1)C.(2,0)D.(2-1,1)11,6.(2021新高考八省(市)1月联考,)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 . 7.(2021河北保定唐县一中高二上月考,)过点(3,1)的直线l被曲线x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则直线l的方程为 .易错 8.(2020山东德州高二上期末,)在平面直角坐标系中,①已知点M(2,0),N(5,0),P(x,y)为圆C上任一点,P到点M的距离和到点N的距离的比值为2;②圆C经过A(4,0),B(6,2),且圆心在直线x-y-6=0上.从①②中任选一个条件.(1)求圆C的方程;(2)若直线x=ay+4被圆C截得的弦长为2,求a的值.迁移创新9.(2020广东佛山一中高二上期中,)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:(1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程;(2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动?(3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(42,0)运动方向可以碰到目标球C(72,-52),求a的最小值(只需要写出结果即可).图①11,图②答案全解全析五年高考练1.B 由y=k(x+1)可知直线过定点(-1,0),设其为P,设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,其最大距离为|AP|=2.故选B.2.答案 4解析 设Px0,x0+4x0,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2·x0+2x0≥4,当且仅当x0=2x0,即x0=2时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.3.B 圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),设为C,半径为3,设P(1,2),当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时|CP|=(3-1)2+(0-2)2=22.根据弦长公式得最小值为29-|CP|2=29-8=2.故选B.4.B 由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,11,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离d1=|2×1-1-3|5=255;圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离d2=|2×5-5-3|5=255,所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.5.A 设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,所以圆心A到原点的距离的最小值为(3-0)2+(4-0)2-1=5-1=4.故选A.6.D (x-1)2+(y-1)2=4,r=2,M(1,1),如图,由题可知,AB⊥PM,|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2·(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|),∵|PA|=|PB|,∴|PM|·|AB|=4|PA|=4·|PM|2-|AM|2=4|PM|2-4,当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),圆心M到直线AB的距离为d=|3-b|5,|AB|=4|PA||PM|=45,∴d2+AB22=|MA|2,即(3-b)25+45=4,解得b=-1或b=7(舍).综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.7.答案 33;-233解析 由直线与圆相切的充要条件知|b|k2+1=1,|4k+b|k2+1=1⇔|b|=|4k+b|,|b|=k2+1⇔k=33(舍负),b=-233.8.答案 5解析 设圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离为d,则d=|8|12+(-3)2=4,∴r2=|AB|22+d2=32+42=25,又r>0,11,∴r=5.9.解析 (1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x≤4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+1542<32+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.11,再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.三年模拟练应用实践1.C 设M(x,y),依题意得,(x+3)2+y2(x-3)2+y2=2,化简得,x2-10x+y2+9=0,配方得,(x-5)2+y2=16.故选C.2.B 设圆x2+(y-1)2=14的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=14的圆心为B(2,0),则|PN|-|PM|≤|PB|+12-|PA|-12=|PB|-|PA|+1,设A关于直线y=x的对称点为A'(1,0),则|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1≤|A'B|+1=2,故选B.3.A 由C2:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R)可得,圆C2的半径为1,圆C2的圆心在圆(x-2)2+y2=25的圆上运动,设A(2,0),则|PA|∈[4,6],由图可知,PE·PF=|PE|2cos2θ=(|PA|2-4)·(1-2sin2θ)=(|PA|2-4)1-8|PA|2=|PA|2+32|PA|2-12,由y=|PA|2+32|PA|2-12在[16,36]上为增函数可知,当|PA|2=16时,PE·PF取最小值,为6,故选A.4.ABC 圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1过定点(0,-1),由图可知,圆心C到直线y=kx-1距离的最大值为(-3-0)2+[3-(-1)]2=5,11,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为5+1=6.结合选项知,只有D不符合.故选ABC.5.AC 如图所示.原点到直线l的距离d=212+12=1,则直线l与圆x2+y2=1相切,由图可知,当AP、AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,连接OA、OP、OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,所以四边形APOQ为正方形,所以|OA|=2|OP|=2,设A(t,2-t),由两点间的距离公式得|OA|=t2+(2-t)2=2,整理得2t2-22t=0,解得t=0或t=2,因此,点A的坐标为(0,2)或(2,0).故选AC.6.答案 13;-3解析 解法一:设正方形的一条对角线所在直线的倾斜角为α,且tanα=2,则正方形的两条邻边的倾斜角为α+π4,α-π4,tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=-3,tanα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4=2-11+2=13,∴正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,13.解法二:建立平面直角坐标系,如图,设O(0,0),A(1,2),则可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAB=1-2-2-1=13,kAD=-1-22-1=-3.11,7.答案 x=3或3x-4y-5=0解析 曲线方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,表示以(1,2)为圆心,5为半径的圆.当l的斜率不存在时,直线方程为x=3,∴圆心到l的距离d=2,∴弦长为25-4=2,满足题意;当l的斜率存在时,设l:y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,圆心到l的距离d'=|k-2-3k+1|1+k2=2,∴k=34,∴l:3x-4y-5=0.综上所述,直线l的方程x=3或3x-4y-5=0.易错警示 在设直线的斜率求直线的方程时,不要遗漏斜率不存在的直线.一方面,要能发现“遗漏”:在化简含有k的方程时,若消去二次项,要怀疑直线是否有“遗漏”的情况;另一方面,要能找回“遗漏”的直线,此时只要直接验证斜率不存在的直线是否符合题意即可.8.解析 (1)选择条件①,则|PM||PN|=2,即(x-2)2+y2(x-5)2+y2=2,所以(x-2)2+y2(x-5)2+y2=4,整理得x2+y2-12x+32=0,即(x-6)2+y2=4.选择条件②,设线段AB的中点为E,则E(5,1),kAB=2-06-4=1,所以线段AB的垂直平分线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0,所以x-y-6=0,x+y-6=0,解得x=6,y=0,所以圆心C(6,0).又半径r=|CA|=2,所以圆C的方程为(x-6)2+y2=4.(2)直线x=ay+4被圆C截得的弦长为2,圆心到直线的距离d=4-1=3.由点到直线的距离公式得|6-a·0-4|(-a)2+1=3,解得a=±33.迁移创新9.解析 (1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,11,依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A'(a,b),则有a+b-4=0,(a-4)2+b2=2,a>0,b>0,解得a=4-2,b=2,即A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A'(4-2,2),所以母球A运动的直线方程为y=24-2x=22+17x.(2)由(1)知,A'(4-2,2),又A(0,-2),B(4,0),∴AA'=(4-2,2+2),BA'=(-2,2),∴AA'·BA'=(4-2,2+2)·(-2,2)=4-22>0,故∠AA'B为锐角.所以点B(4,0)到线段AA'的距离小于2,故球A的球心未到直线BB'上的点A'之前就会与球B碰撞.故不可能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动.(3)a的最小值为-22.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图所示,设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有BB'⊥B'C,|B'C|=2,联立(x-42)(x-72)+y(y+52)=0,(x-72)2+(y+52)2=4,11,解得x=82,y=-42,∴B'，直线CB’的倾斜角为45°，∴直线A’B的倾斜角为135°，易得A’。过A’作倾斜角为45°的直线，交y轴于点A，易得A，若a＜，则母球A会在到达A’之前就与目标球B碰撞，不合题意。因此a的最小值为。11
