8＋6分项练12 函数的图象与性质1．(2022·葫芦岛模拟)已知实数x，y满足x<y，则下列关系式中恒成立的是( )A．tanx>tanyB．ln>lnC.>D．x3>y3答案 D解析 x<y⇔x>y，对于A，当x＝，y＝－时，满足x>y，但tanx>tany不成立．对于B，若ln>ln，则等价于x2＋1>y2成立，当x＝1，y＝－2时，满足x>y，但x2＋1>y2不成立．对于C，当x＝3，y＝2时，满足x>y，但>不成立．对于D，当x>y时，x3>y3恒成立．2．函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )7\n答案 A解析 f(－x)＝＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又当x→0时，f(x)→＋∞，故选A.3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0，且当x∈时，f(x)＝log2(2x＋7)，则f(2017)等于( )A．－2B．log23C．3D．－log25答案 D解析 因为奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即周期为3，所以f(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log25，故选D.4．(2022·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f(x)＝ln(ex＋e－x)＋x2，则使得f(2x)>f(x＋3)成立的x的取值范围是( )A．(－1,3)B.∪C.D．(－∞，－1)∪答案 D解析 因为f(－x)＝ln(e－x＋ex)＋(－x)2＝ln(ex＋e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2x)>f(x＋3)⇔|2x|>|x＋3|，解得x<－1或x>3.故选D.7\n5．(2022·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称f(x)为区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数g(x)＝x3－x2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是( )A.B.C.D．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g(x)＝x3－x2，∵g′(x)＝x2－mx在区间[0,2]上存在x1，x2(0<x1<x2<2)，满足g′(x1)＝g′(x2)＝＝－m，∴方程x2－mx＋m－＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则解得<m<，则实数m的取值范围是.6．(2022·咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则( )A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋1)是奇函数D．函数f(x＋2)是偶函数答案 B解析 根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.7\n7．(2022·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间上无零点，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B.∪(1，＋∞)C.∪(1，＋∞)D．(0,1)∪答案 C解析 令y＝8x－logax2＝0，则8x＝logax2，设f(x)＝8x，g(x)＝logax2，于是要使函数y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间上没有零点，只需函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点，当a>1时，显然成立；当0<a<1时，f(x)＝8x单调递增，且f＝8＝2，此时，要使函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点，则需g＝loga>f＝2，即loga>2＝logaa2，于是a2>，解得<a<1，故实数a的取值范围是a>1或<a<1，故选C.8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，且当x∈[2,4]时，f(x)＝g(x)＝ax＋1，对∀x1∈[－2,0]，∃x2∈[－2,1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围为( )A.∪B.∪C．(0,8]D.∪答案 D解析 由题意知问题等价于函数f(x)在[－2,0]上的值域是函数g(x)在[－2,1]上的值域的子集．当x∈[2,4]时，f(x)＝由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f(x)∈，由f(x＋2)＝2f(x)，可得f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，当x∈[－2，0]时，7\nx＋4∈[2,4]．则f(x)在[－2,0]上的值域为.当a>0时，g(x)∈[－2a＋1，a＋1]，则有解得a≥；当a＝0时，g(x)＝1，不符合题意；当a<0时，g(x)∈[a＋1，－2a＋1]，则有解得a≤－.综上所述，可得a的取值范围为∪.9．(2022·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)＝是奇函数，则g(f(－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f(x)＝是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(4－2)＝－2，g(f(－2))＝g(－2)＝f(－2)＝－2.10．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________．答案 2解析 画出函数f(x)＝的图象如图，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个．11．(2022·东北三省三校模拟)函数f(x)＝ax－2015＋2017(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2015,2018)解析 当x＝2015时，f(2015)＝a2015－2015＋2017＝a0＋2017＝2018，∴f(x)＝ax－2015＋2017(a>0且a≠1)过定点(2015，2018)．12．(2022·南平质检)已知实数x，y满足x2－siny＝1，则siny－x的取值范围是________．7\n答案 解析 由x2－siny＝1，可得siny＝x2－1.又siny∈[－1,1]，所以x2－1∈[－1,1]，解得－≤x≤.siny－x＝x2－x－1＝2－.结合－≤x≤，可得2－∈.13．若函数f(x)对定义域内的任意x1，x2，当f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称函数f(x)为单纯函数，例如函数f(x)＝x是单纯函数，但函数f(x)＝x2不是单纯函数，下列命题：①函数f(x)＝是单纯函数；②当a>－2时，函数f(x)＝在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数，x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x0使其导数f′(x0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号)答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x≥2时，f(x)＝log2x单调，当x<2时，f(x)＝x－1单调，结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f(x)＝x＋＋a，由f(2)＝f但2≠可知f(x)不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f(x)＝x是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x0，使f′(x0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，关于x的方程f2(x)－f(x)－1＝0有以下结论：①当a≥0时，方程f2(x)－f(x)－1＝0恒有根；②当0≤a<时，方程f2(x)－f(x)－1＝0在内有两个不等实根；③当a≥0时，方程f2(x)－f(x)－1＝0在内最多有9个不等实根；7\n④若方程f2(x)－f(x)－1＝0在内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.其中正确的结论是________．(填序号)答案 ③④解析 如图所示，令f(x)＝t，故可将题意理解为先求出t2－t－1＝0的解，然后再令f(x)＝t即可得出方程的根的情况，而假设t2－t－1＝0有两解t1，t2，则t1＋t2＝，t1·t2＝－1，故t1，t2一正一负，显然负根与函数f(x)的图象不会产生交点，故只需讨论正根与图象的交点，不妨假设t1为正根，故可得t1－＝，对于①显然错误，只要足够大，很显然与函数图象不会有交点，故①错误．对于②，当0≤a<时，∈，故t1∈[1,3)，故方程f2(x)－f(x)－1＝0在内有两个或三个不等实根，故②错误．对于③，当a≥0时，故∈[0，＋∞)，当a＝0时，t1的最小值取1.当t1＝1时，此时在内有9个不等实根；当a>0时，此时在内无根或者3个根或者6个根，故最多9个根，③正确；对于④，当在内有偶数(非零)个根时，即为6个根，此时6个解关于x＝对称，故6个根的和为×2×3＝15π，④正确，故正确的为③④.7
