8＋6分项练13 函数的图象与性质1．(2022·葫芦岛模拟)已知实数x，y满足x<y，则下列关系式中恒成立的是( )A．tanx>tanyB．ln>lnC.>D．x3>y3答案 D解析 x<y⇔x>y，对于A，当x＝，y＝－时，满足x>y，但tanx>tany不成立．对于B，若ln>ln，则等价于x2＋1>y2成立，当x＝1，y＝－2时，满足x>y，但x2＋1>y2不成立．对于C，当x＝3，y＝2时，满足x>y，但>不成立．对于D，当x>y时，x3>y3恒成立．2．函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )8\n答案 A解析 f(－x)＝＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又当x→0时，f(x)→＋∞，故选A.3．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 B解析 画出函数f(x)＝的图象如图，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.4．(2022·福建省厦门市高中毕业班质检)设函数f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D.答案 A解析 ∵f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，则f(1)是f(x)的最小值，由二次函数性质可得对称轴a≥1，由分段函数性质得2－1≤ln1，得0≤a≤2，综上，可得1≤a≤2，故选A.8\n5．(2022·安徽省示范高中(皖江八校)联考)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈恒成立，则实数m的取值范围是( )A.∪B.C.∪[1，＋∞)D.答案 D解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)对任意x∈[－1,0]恒成立，得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|对任意x∈[－1,0]恒成立，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故选D.6．(2022·宿州模拟)已知函数y＝f(x)为R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝1－x2.给出下列四个命题：p1：f(1)＝0；p2：2是函数y＝f 的一个周期；p3：函数y＝f(x－1)在(1,2)上单调递增；p4：函数y＝f(2x－1)的增区间为，k∈Z.其中真命题为( )A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4答案 C解析 f(x＋2)＝－f(x)中，令x＝－1可得f(1)＝－f(－1)＝－f(1)，据此可得f(1)＝0，命题p1正确；由题意可知f＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期为T＝4，8\n则函数y＝f 的一个周期为8，命题p2错误；由f(x＋2)＝－f(x)可知，函数f(x)关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移一个单位可得函数y＝f(x－1)的图象，则函数y＝f(x－1)在(1,2)上单调递减，命题p3错误；p4：函数y＝f(2x－1)的增区间满足：4k－2≤2x－1≤4k(k∈Z)，求解不等式组可得增区间为，k∈Z，命题p4正确．综上可得真命题为p1，p4.7．(2022·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间上无零点，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B.∪(1，＋∞)C.∪(1，＋∞)D．(0,1)∪答案 C解析 令y＝8x－logax2＝0，则8x＝logax2，设f(x)＝8x，g(x)＝logax2，于是要使函数y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间上没有零点，只需函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点，当a>1时，显然成立；当0<a<1时，f(x)＝8x单调递增，且f ＝8＝2，此时，要使函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点，则需g＝loga>f ＝2，即loga>2＝logaa2，于是a2>，解得<a<1，8\n故实数a的取值范围是a>1或<a<1，故选C.8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，且当x∈[2,4]时，f(x)＝g(x)＝ax＋1，对∀x1∈[－2,0]，∃x2∈[－2,1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围为( )A.∪B.∪C．(0,8]D.∪答案 D解析 由题意知问题等价于函数f(x)在[－2,0]上的值域是函数g(x)在[－2,1]上的值域的子集．当x∈[2,4]时，f(x)＝由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f(x)∈，由f(x＋2)＝2f(x)，可得f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，当x∈[－2，0]时，x＋4∈[2,4]．则f(x)在[－2,0]上的值域为.当a>0时，g(x)∈[－2a＋1，a＋1]，则有解得a≥；当a＝0时，g(x)＝1，不符合题意；当a<0时，g(x)∈[a＋1，－2a＋1]，则有解得a≤－.综上所述，可得a的取值范围为∪.9．(2022·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)＝是奇函数，则g(f(－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f(x)＝是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(4－2)＝－2，g(f(－2))＝g(－2)＝f(－2)＝－2.10．已知f(x)为定义在R上周期为2的奇函数，当－1≤x<0时，f(x)＝x(ax＋1)，若f＝－1，则a＝________.答案 6解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f ＝f ＝－f 8\n＝－＝－1，解得a＝6.11．(2022·东北三省三校模拟)函数f(x)＝ax－2015＋2017(a>0且a≠1)所过的定点坐标为____．答案 (2015,2018)解析 当x＝2015时，f(2015)＝a2015－2015＋2017＝a0＋2017＝2018，∴f(x)＝ax－2015＋2017(a>0且a≠1)过定点(2015，2018)．12．(2022·山西省大同市与阳泉市模拟)已知函数f(x)＝(x＋2012)(x＋2014)(x＋2016)(x＋2018)，x∈R，则函数f(x)的最小值是________．答案 －16解析 设t＝x＋2015，t∈R，则f(x)＝(x＋2012)(x＋2014)(x＋2016)(x＋2018)，x∈R，化为g(t)＝(t－3)(t－1)(t＋1)(t＋3)＝(t2－1)(t2－9)＝t4－10t2＋9＝(t2－5)2－16，当t2＝5时，g(t)有最小值－16，即当x＝－2015±时，函数f(x)的最小值是－16.13．若函数f(x)对定义域内的任意x1，x2，当f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称函数f(x)为单纯函数，例如函数f(x)＝x是单纯函数，但函数f(x)＝x2不是单纯函数，下列命题：①函数f(x)＝是单纯函数；②当a>－2时，函数f(x)＝在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数，x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x0使其导数f′(x0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号)答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x≥2时，f(x)＝log2x单调，当x<2时，f(x)＝x－1单调，结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f(x)＝x＋＋a，由f(2)＝f 8\n但2≠可知f(x)不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f(x)＝x是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x0，使f′(x0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝若方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有6个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案 解析 作出函数f(x)和g(t)的图象如图． 由g[f(x)]－a＝0(a>0)，得g[f(x)]＝a(a>0)．设t＝f(x)，则g(t)＝a(a>0)．由y＝g(t)的图象知，①当0<a<1时，方程g(t)＝a有两个根，－4<t1<－3，－3<t2<－2，由t＝f(x)的图象知，当－4<t1<－3时，t＝f(x)有1个根，当－3<t2<－2时，t＝f(x)有3个根，此时方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有4个根，②当a＝1时，方程g(t)＝a有两个根，t1＝－3，t2＝，由t＝f(x)的图象知，当t1＝－3时，t＝f(x)有2个根，当t2＝时，t＝f(x)有3个根，此时方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有5个根；③当1<a<时，方程g(t)＝a有两个根，0<t1<，<t2<1，由t＝f(x)的图象知，当0<t1<时，t＝f(x)有3个根，当<t2<1时，t＝f(x)有3个根，此时方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有6个根；④当a＝时，方程g(t)＝a有1个根，t＝1，由t＝f(x)的图象知，当t＝1时，t＝f(x)有2个根，此时方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有2个根；⑤当a>时，方程g(t)＝a有1个根t>1，由t＝f(x)的图象知，当t>1时，t＝f(x)有1个根，此时方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有1个根．8\n综上可得，若方程g[f(x)]－a＝0(a>0)有6个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是.8
