第1讲 五种策略搞定选择题[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一，该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一道题几乎都有两种或两种以上的解法.正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力.选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线.方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )A.B.8－4C.1D.点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.变式训练1 (1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，sinC＝3sin14\nB，且S△ABC＝，则b等于( )A.1B.2C.3D.3(2)(2022·湖北)已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则( )A.sgn[g(x)]＝sgnxB.sgn[g(x)]＝－sgnxC.sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例2 (1)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是( )A.X＋Z＝2YB.Y(Y－X)＝Z(Z－X)C.Y2＝XZD.Y(Y－X)＝X(Z－X)(2)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A.a＋>b＋B.>C.a－>b－D.>点评 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2 已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )14\nA.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法.它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.例3 函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是( )A.B.[－1,0]C.[－，－1]D.点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3 (1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0(2)(2022·青岛模拟)函数Y＝xsinx在[－π，π]上的图象是( )方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.例4 设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则( )A.x1x2<0B.x1x2＝1C.x1x2>1D.0<x1x2<114\n点评 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4 (2022·重庆)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.∪B.∪C.∪D.∪方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.例5 已知sinθ＝，cosθ＝(<θ<π)，则tan等于( )A.B.C.－D.5点评 估算法的应用技巧：估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.变式训练5 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A.1B.C.D.高考题型精练14\n1.(2022·蚌埠模拟)已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i2.函数Y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )3.设全集U＝R，A＝{x|2x(x-2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}4.(2022·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y＝B.y＝x＋C.y＝2x＋D.y＝x＋ex5.(2022·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B.2或C.2或1D.2或－16.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于Y轴对称，则f(x)等于( )A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-17.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B14\n两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于( )A.1B.C.2D.39.函数y＝2x－x2的图象大致是( )10.(2022·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)11.若动点P，Q在椭圆9x2＋16Y2＝144上，O为原点，且满足OP⊥OQ，则O到弦PQ的距离|OH|必等于( )A.B.C.D.12.如图所示，图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.y＝|x－1|(0≤x≤2)B.y＝－|x－1|(0≤x≤2)C.y＝－|x－1|(0≤x≤2)D.y＝1－|x－1|(0≤x≤2)13.已知函数f(x)＝与g(x)＝x3＋t，若f(x)与g(x)的交点在直线y＝x的两侧，则实数t的取值范围是( )A.(－6,0]B.(－6,6)14\nC.(4，＋∞)D.(－4,4)14.函数y＝sin在区间的简图是( )15.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C2，C1上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A.5－4B.－1C.6－2D.16.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点17.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)18.(2022·广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于519.(2022·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )A.B.[0,1]C.D.[1,＋∞)20.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )14\nA.[1－2，1＋2]B.[1－，3]C.[－1,1＋2]D.[1－2，3]14\n答案精析技巧·规范·回扣篇第一篇快速解答选择、填空题第1讲 五种策略搞定选择题典例剖析例1 A[由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2＋2ab－c2＝4，由C＝60°，得cosC＝＝＝.解得ab＝.]变式训练1 (1)A (2)B解析 (1)∵cosA＝，∴sinA＝.又S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝3.又sinC＝3sinB，∴c＝3b，∴b＝1，c＝3.(2)因为a>1，所以当x>0时，x<ax，因为f(x)是R上的增函数，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)＝f(x)－f(ax)<0，sgn[g(x)]＝－1＝－sgnx；同理可得当x<0时，g(x)＝f(x)－f(ax)>0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；当x＝0时，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立.故B正确.例2 (1)D (2)A解析 (1)由{an}是任意等比数列，不妨令n＝1，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则X＝1，Y＝3，Z＝7，验证A.X＋Z＝8,2Y＝6，X＋Z＝2Y不成立，B.Y(Y－X)＝3×2＝6，Z(Z－X)＝7×6＝42，即Y(Y－X)＝Z(Z－X)不成立，C.Y2＝9，XZ＝7，Y2＝XZ不成立，D.Y(Y－X)＝3×2＝6，X(Z－X)＝1×(7－1)＝6，即Y(Y－X)＝X(Z－X).故选D.(2)取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x14\n)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.变式训练2 C[方法一 不妨设0<a<1<b≤10<c，取特例，如取f(a)＝f(b)＝f(c)＝，则易得a＝10－，b＝10，c＝11，从而abc＝11，故选C.方法二 不妨设a<b<c，则由f(a)＝f(b)⇒ab＝1，再根据图象(图略)易得10<c<12.实际上a，b，c中较小的两个数互为倒数.故abc的取值范围是(10,12).]例3 B[令sinx＝0，cosx＝1，则f(x)＝＝－1，排除A，D；令sinx＝1，cosx＝0，则f(x)＝＝0，排除C，故选B.]变式训练3 (1)C (2)A解析 (1)当a＝0时，x＝－，故排除A、D.当a＝1时，x＝－1，排除B.(2)易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除D；当0<x<时，y＝xsinx>0，可排除B；当x＝π时，y＝0，可排除C.故选A.例4 D[构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示，因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1，故选D.]变式训练4 A[作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2).14\n因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0<m≤，g(x)有两个不同的零点.当直线y＝m(x＋1)过点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－<m≤－2，g(x)有两个不同的零点.综上，m的取值范围为(－，－2]∪(0，]，故选A.]例5 D[由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m一定为确定的值进而推知tan也是一确定的值，又<θ<π，所以<<，故tan>1.所以D正确.]变式训练5 C[由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.]高考题型精练1.C[由＝1－ni，得m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，根据复数相等的条件得∴∴m＋ni＝2＋i，故选C.]2.B[由f(0)＝0，排除C、D，又log2＝log2>log2＝.即0<x<1时，f(x)>x，排除A.]3.B[A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x<1}.由题图知阴影部分是由A中元素且排除B中元素组成，得1≤x<2.故选B.]4.D[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－14\nf(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而A、B、C依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.]5.D[如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.]6.D[依题意，f(x)向右平移一个单位长度之后得到的函数是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移一个单位的结果，所以f(x)＝e－x－1.]7.B[如图，因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.]8.C[由＝2(c为半焦距)，则＝，即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°，所以△AOB的面积为，又＝，所以p＝2为所求.]9.A[因为当x＝2或x＝4时，2x－x2＝0，所以排除B，C；当x＝－2时，2x－x2＝－4<0，排除D，故选A.]10.B[由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2).]11.C[选一个特殊位置(如图)，令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2＝9得，|OP|＝4，|OQ|＝3，则|OH|＝14\n.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C正确.故选C.]12.B[由图象过点(0,0)，，(2,0)，代入选项验证即可.]13.B[根据题意可得函数图象，g(x)在点A(2,2)处的取值大于2，在点B(－2，－2)处的取值小于－2，可得g(2)＝23＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)3＋t＝－8＋t<－2，解得t∈(－6,6)，故选B.]14.A[f(π)＝sin＝－，排除B、D，f＝sin＝0，排除C.故选A.]15.A[作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，由图可知当点C2、M、P、N′、C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，即为|C′1C2|－1－3＝5－4.]16.D[－f(－x)是f(x)的图象关于原点作变换，(x0，f(x0))是极大值点，那么(－x0，－f(－x0))就是极小值点.]17.B[如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号.∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B.]18.B[当n＝3时显然成立，故排除C，D；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选B.]19.C[由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥，故选C.]20.D[y＝3－变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示.14\n若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，所以b的取值范围为1－2≤b≤3.故选D.]14
