星期四 (函数与导数) 2022年____月____日函数与导数知识(命题意图：考查利用导数证明不等式，考查考生对转化与化归思想的应用．)已知函数f(x)＝lnx－ex＋a.(1)若x＝1是f(x)的极值点，讨论f(x)的单调性；(2)当a≥－2时，证明：f(x)＜0.(1)解 f′(x)＝－ex＋a(x＞0)，∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝1－e1＋a＝0，∴a＝－1，此时f′(x)＝－ex－1，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)内单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)内单调递减．(2)证明 当a≥－2时，ex＋a≥ex－2，f(x)＝lnx－ex＋a≤lnx－ex－2，只需证g(x)＝lnx－ex－2＜0即可，g′(x)＝－ex－2，由g′(x)＝0，得＝ex－2，由图象法知方程有唯一解x0∈(1，2)，且ex0－2＝，lnx0＝－x0＋2，当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)在(0，x0)内单调递增，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(x0，＋∞)内单调递减，∴g(x)max＝lnx0－ex0－2＝－x0＋2－，由x0∈(1，2)知x0＋＞2＝2，g(x)max＝－x0＋2－＜0.综上，当a≥－2时，f(x)＜0.1
