星期五 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1．(本小题满分12分)已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．记f(x)＝m·n.(1)若f(a)＝，求cos的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在上有零点，求实数k的取值范围．解 f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋.(1)由已知f(a)＝，得sin＋＝，于是a＝4kπ＋，k∈Z，∴cos＝cos＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＋的图象，当x∈时，－≤x－≤π，所以－≤sin≤1，所以0≤sin＋≤，若函数y＝g(x)－k在上有零点，则k∈.2．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.6\n(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．(1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解 由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的一个法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的一个法向量，则可取m＝(2，1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.6\n即二面角D－A1C－E的正弦值为.3．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解 (1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)．所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝4．(本小题满分12分)某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金为30元；三球号码构成等差数列的为二等奖，奖金为60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金为240元；其余情况无奖金．6\n(1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？解 (1)奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.顾客抽奖一次，基本事件总数为C＝120，P(ξ＝30)＝＝＝，P(ξ＝60)＝＝＝，P(ξ＝240)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝，∴ξ的分布列为ξ03060240P∴E(ξ)＝0×＋30×＋60×＋240×＝26.(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P＝1－＝.四次抽奖相互独立，所以得奖次数η～B，∴D(η)＝4××＝.5．(本小题满分13分)(2022·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．(1)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，6\n即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)解 四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP，由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki＞0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．6．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(a＋x)－ln(a－x)(a＞0)．(1)曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，求a的值；(2)当x≥0时，f(x)≥2x＋，试求a的取值范围．解 (1)已知f(x)＝ln(a＋x)－ln(a－x)(a＞0)，则f′(x)＝＋＝，f′(0)＝＝，由题意知f′(0)＝2，∴＝2，∴a＝1.6\n(2)令g(x)＝f(x)－2x－(0≤x＜a)，则g′(x)＝′＝f′(x)－2－2x2＝－2－2x2＝[x4－(a2－1)x2＋a－a2]．①当0＜a≤1时，a2－1≤0，a－a2≥0.当0≤x＜a时，x4－(a2－1)x2＋a－a2≥0,即g′(x)≥0，∴函数g(x)在[0，a)上为增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，即当0＜a≤1时，f(x)≥2x＋.②当a＞1时，a2－1＞0，a－a2＜0，∴0＜x＜＜a时，x2－(a2－1)＜0，x2[x2－(a2－1)]＜0，从而x4－(a2－1)x2＋a－a2＜0，即g′(x)＜0，从而函数g(x)在(0，)上为减函数，∴当0＜x＜时，g(x)＜g(0)＝0，这与题意不符．综上所述，当x≥0时，f(x)≥2x＋，a的取值范围为0＜a≤1.6
