广东省湛江市2022届高三高考测试（一）数学理试题一、选择题（40分）1．（5分）（2022•湛江一模）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={2，3，4，5，6}，则A∪B=（ ） A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，3，4，5，6}D．{3，4}考点：并集及其运算．分析：据并集的定义可知，A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合，求出两集合的并集即可．解答：解：集合A={1，2，3，4}，集合B={2，3，4，5，6}，所以A∪B={1，2，3，4，5，6}．故选B点评：此题考查学生掌握并集的定义并会进行并集的运算，是一道基础题． 2．（5分）（2022•湛江一模）复数z满足z+1=2+i（i为虚数单位），则z（1﹣i）=（ ） A．2B．0C．1+iD．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由已知解出复数z，然后直接利用复数的乘法运算计算z（1﹣i）．解答：解：由z+1=2+i，得：z=1+i，所以z（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的乘法，符合实数运算中的多项式乘多项式原则，是基础题． 3．（5分）（2022•湛江一模）若，则a0=（ ） A．1B．32C．﹣1D．﹣32考点：二项式定理的应用．专题：概率与统计．分析：根据（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，结合所给的条件求得a0的值．解答：解：∵（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）16\n3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，而且，故a0=•25=32，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 4．（5分）（2022•湛江一模）在△ABC中，∠A=，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（ ） A．1B．C．2D．1考点：三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：利用三角形的面积公式S△ABC=及已知条件即可得出．解答：解：由S△ABC===，解得b=1．∴AC=b=1．故选A．点评：熟练掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． 5．（5分）（2022•湛江一模）在等比数列{an}中，已知a2+a3=1，a4+a5=2，则a8+a9等于（ ） A．2B．4C．8D．16考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q，可得q2==2，而a8+a9=（a4+a5）q4，代入计算即可．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，则q2==2，故a8+a9=（a4+a5）q4=2×22=8故选C点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．16\n 6．（5分）（2022•湛江一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），若f（﹣1）=2，则f（2022）等于（ ） A．2022B．2C．2022D．﹣2考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先利用函数的周期性，再利用函数的奇偶性，即可求得结论．解答：解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2022）=f（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）=2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，∴f（2022）=﹣2故选D．点评：本题考查函数的周期性与奇偶性，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．（5分）（2022•湛江一模）已知函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn），其中an，bn的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：程序框图．专题：计算题．分析：要使函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn）定义域为R，则必须满足△=＜0，成立．由循环结构输出的数值ai，及bi（i=1，2，3，4，5）进行判定即可．解答：解：要使函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn）定义域为R，则必须满足△=＜0，成立．①a0←1，b0←﹣1，n←1，n＜5，运行循环结构，输出a1←1+1，b1←﹣1+2，不满足△＜0；②a2←2，b0←1，n←2，n＜5，运行循环结构，输出a2←2+1，b1←1+2，满足△＜0；③a2←3，b2←3，n←3，n＜5，运行循环结构，输出a3←3+1，b3←3+2，满足△＜0；16\n④a3←4，b3←5，n←4，n＜5，运行循环结构，输出a4←4+1，b4←5+2，满足△＜0；⑤a4←5，b4←7，n←5，n=5≤5，运行循环结构，输出a5←5+1，b5←7+2，不满足△＜0；⑥n←6＞5，停止循环结构运行．综上可知：只有②③④满足△＜0．因此可以得到以下3个定义域为R的函数：f（x）=lg（x2﹣3x+3），f（x）=lg（x2﹣4x+5），f（x）=lg（x2﹣5x+7）．故选C．点评：正确判定使函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn）定义域为R的条件△＜0，及理解循环结构的功能是解题的关键． 8．（5分）（2022•湛江一模）设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（ ） A．p∧q为真命题B．p∨q为假命题C．￢p∧q为假命题D．￢p∨q为真命题考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离，所以|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，判定出命题p为真命题，根据三点共线的充要条件判定出命题q为真命题．根据复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系得到￢p∧q为假命题，解答：解：因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离，所以，|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，所以对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，只需要3＞a即a＜3，所以命题p为真命题，所以￢p为假命题，因为，所以==所以A、B、C三点共线，反之，A、B、C三点共线，所以存在λ，μ使得其中λ+μ=1所以存在α使得λ=sin2α，μ=cos2α所以存在角α，使”，所以命题q为真命题，所以￢p∧q为假命题，故选C．点评：16\n本题考查绝对值的几何意义以及三点共线的充要条件，考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值，属于中档题． 二、填空题（30分）9．（5分）（2022•湛江一模）点P是圆x2+y2+2x﹣3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为 ．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求出圆在第一象限的部分的面积，利用几何概型求出概率即可．解答：解：如图：圆x2+y2+2x﹣3=0的圆心（﹣1，0），半径为2，圆在第一象限部分的面积为：=．圆的面积为：4π，所以点P在第一象限的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查几何概型，解题的关键是求解圆在第一象限的部分的面积，考查计算能力． 10．（5分）（2022•湛江一模）某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：x1020304050y62758189由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为 68 ．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：由题意设要求的数据为t，由于回归直线过样本点的中心（，），分别求得和16\n，代入回归方程可得t的值．解答：解：由题意可得=（10+20+30+40+50）=30，设要求的数据为t，则有=（62+t+75+81+89）=（t+307），因为回归直线=0.67x+54.9过样本点的中心（，）所以（t+307）=0.67×30+54.9，解得t=68故答案为：68点评：本题考查线性回归方程，利用回归直线过样本点的中心（，）是解决问题的关键，属中档题． 11．（5分）（2022•湛江一模）设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=mx+y仅在点（3，1）处取得最大值，则m的取值范围是 （1，+∞） ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=mx+y对应的直线l进行平移，因为当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值，所以直线l的斜率应该小于直线BC的斜率．由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（3，1），C（0，4），O（0，0）设z=F（x，y）=mx+y，将直线l：z=mx+y平移，可得若当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值则直线l的斜率﹣m＜0且﹣m＜kBC=﹣1，解之得m＞1因此，m的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）16\n点评：本题给出二元一次不等式组，求在目标函数z=mx+y的最优解唯一时求参数m的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 12．（5分）（2022•湛江一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x= 3 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=x，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形．据此即可得出答案．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=x，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形．∴V==3，解得x=3，故答案为3．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 16\n13．（5分）（2022•湛江一模）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于 ．考点：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：取双曲线的一条渐近线：，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴，化为．∴双曲线C2的离心率．故答案为．点评：熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键． 14．（5分）（2022•湛江一模）在极坐标系中，直线与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：极坐标方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系，求出弦长即可．解答：解：直线的直角坐标方程为：y=，圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为：x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，圆的圆心坐标为（1，0）半径为1，圆心到直线的距离为：，所以半弦长为：．所以弦长为：．16\n在极坐标系中，直线与圆ρ=2cosθ相交的弦长为：．故答案为：．点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力． 15．（2022•湛江一模）如图圆上的劣弧所对的弦长CD=，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB=2，则线段AC的长度为 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：连结OC，利用直角三角形求出CE，OE，然后利用勾股定理求出AC即可．解答：解：O为圆心，连结OC，由题意可知OC=1，如图，CD=，∴CE=，所以OE=，则AE=，所以AC===．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段比例问题，勾股定理的应用，考查计算能力与转化思想． 三、解答题（80分）16．（12分）（2022•湛江一模）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若，求tanα的值．16\n考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数的最值，可得A=1．根据图象函数算出最小正周期T=π，从而得到ω=2．最后根据当x=时函数达到最大值，算出φ=，即可得到函数f（x）的表达式；（2）由（1）得即，由三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，解出cos2α=，sin2α=，结合同角三角函数关系可得tan2α=，最后结合α∈（0，），解出tanα=（舍负）．解答：解：（1）根据题意，得∵函数的最大值为1，最小值为﹣1，∴A=1∵函数的最小正周期T，满足=﹣=∴T=π，得=π，解之得ω=2∵当x=时，函数达到最大值为1，∴f（）=sin（+φ）=1，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=1，得φ=因此，函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）；（2）∵f（x）=sin（2x+），∴，可得cos2α=∵cos2α=cos2α﹣sin2α=，cos2α+sin2α=1∴cos2α=，sin2α=，可得tan2α==∵α∈（0，），∴tanα=（舍负）点评：16\n本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式并依此求特殊的三角函数的值，着重考查了根据y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式和三角恒等变换等知识，属于中档题． 17．（12分）（2022•湛江一模）甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为．（1）求P．（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）由至少有1人面试合格概率，利用对立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互独立事件同时发生的概率列式求解；（2）由题意可知签约人数ξ的取值分别是0，1，2，3，求出每种情况的概率，直接利用期望公式求期望．解答：解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1﹣=．所以（1﹣P）3=，即P=．（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格（1﹣）3=，甲不合格，乙丙至少一人不合格×（1﹣×）﹣（1﹣）3=，签约人数为0的概率：+=；签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：×（1﹣×）=；签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：××（1﹣）=；签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（）3=．分布表：签约人数0123概率数学期望：Eξ==1．点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列与期望，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．16\n 18．（14分）（2022•湛江一模）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间角．分析：（1）利用线面、面面垂直的判定和性质定理及线面角的定义即可求出；（2）由二面角A1﹣EC﹣D为定值，且与二面角M﹣EC﹣B互补，及MO、BO为定值，即可得证．解答：解：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．（2）如图所示，由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1﹣EC﹣D的二面角的平面角，且为45°．取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M﹣EC﹣B的平面角；由图形可知：二面角A1﹣EC﹣D与二面角M﹣EC﹣B互补，因此二面角M﹣EC﹣B的平面角为135°．又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．∴．16\n点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键． 19．（14分）（2022•湛江一模）已知各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有a2an=S2+Sn（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列的前n项和为Tn，求Tn的最大值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意，利用条件，可得，a2（a2﹣a1）=a2，根据数列{an}各项为正，可求a1；（2）利用条件再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可得到结论；（3）确定数列的通项，得出正数项与负数项，即可求最值．解答：解：（1）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得=2a1+2a2②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③∵数列{an}各项为正，∴a2≠0，∴a2﹣a1=1④①④联立可得a1=+1，a2=+2，（负值舍去）综上可得，a1=+1；（2）当n≥2时，（2+）an=S2+Sn，（2+）an﹣1=S2+Sn﹣1，两式相减可得（1+）an=（2+）an﹣1，∴an=an﹣1，∴an=（1+）•；（3）令，则bn=lg2令bn＞0，则n＜5，令bn＜0，则n＞5∴数列的前4项为正，第5项为0，从第6项开始为负16\n∴数列的前4项或前5项的和取得最大值，最大值为=5lg2．点评：本题考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大值，考查学生的学生能力，属于中档题． 20．（14分）（2022•湛江一模）如图，已知点M0（x0，y0）是椭圆C：=1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P．（1）过点M0且l0与垂直的直线为l1，求l1与y轴交点纵坐标的取值范围；（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM0为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．（参考定理：若点Q（x1，y1）在椭圆，则以Q为切点的椭圆的切线方程是：．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先求切线的斜率，可得直线l1的方程，确定l1与y轴交点纵坐标，即可求得l1与y轴交点纵坐标的取值范围；（2）确定P的坐标，利用以PM0为直径的圆恒过点T，结合向量知识，即可求得结论．解答：解：（1）由椭圆得：，y'=切线的斜率为：k=，所以，直线l1的方程为：，16\n所以l1与y轴交点纵坐标为：y=﹣=因为﹣1≤x0≤1，所以，，，所以，当切点在第一、二象限时，l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：，则利用对称性可知l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：．（2）依题意，可得∠PTM0=90°，设存在T（0，t），M0（x0，y0）由（1）得点P的坐标（，2），由可得（0﹣，t﹣2）•（﹣x0，t﹣y0）=0，∴1﹣y0+（t﹣2）（t﹣y0）=0，∴y0（1﹣t）+（t﹣1）2=0∴t=1∴存在点T（0，1）满足条件．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的运算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．（14分）（2022•湛江一模）已知函数f（x）=ex﹣1，，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．（1）证明：函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点；（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0）（a为常数），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有an≤M．考点：数学归纳法；函数的零点；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）直接利用零点存在定理证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点即可；（2）通过方程f（x）=g（x）构造函数h（x）=ex﹣1﹣，利用函数的导数以及函数的单调性，结合零点存在定理说明方程根的个数；（3）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．解答：解：（1）证明：由h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣1﹣，得：h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣2﹣＞0，所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．（2）由（1）得：h（x）=ex﹣1﹣，由知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，16\n因此h（x）至少有两个零点．所以﹣1，记φ（x）=﹣1，则．当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．（3）记h（x）的正零点为x0，即．（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0．而=，因此a2＜x0，由此猜测：an＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有ak＜x0成立，则当n=k+1时，由=知，ak+1＜x0，因此，当n=k+1时，ak+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，an＜x0成立．（2）当a≥x0时，由（1）知，h（x）在（x0，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x0）=0，即．从而，即a2≤a，由此猜测：an≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有ak≤a成立，则当n=k+1时，由知，ak+1≤a，因此，当n=k+1时，ak+1≤a成立．故对任意的n∈N*，an≤a成立．综上所述，存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．点评：本题考查函数的零点存在定理的应用，数学归纳法的证明方法以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力． 16
