星期五 (数列问题) 2022年____月____日已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解 (1)n＝1时，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.当n≥2时，8Sn－1＝a＋4an－1＋3，an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)，从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0因为{an}各项均为正数，所以an－an－1＝4.所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1，5，25，构成等比数列，所以an＝4n－3，bn＝5n－1.当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．(2)存在满足条件的a，理由如下：由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.1
