985提分专项练(重点中学)(3)1.(16分)(2022·盐城市高三期中)如图1甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来。我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：h高的弧形轨道下端与半径为R的竖直圆形轨道相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动。不计一切阻力，重力加速度为g。图1(1)试推导小球在运动过程中机械能守恒；(2)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；(3)求小球在圆形轨道上运动而不脱离，h的取值范围。解析 (1)取轨道最低点为零势能面，设小球从初始位置运动到轨道上的离最低点H高处的某一位置的过程中，由动能定理得WG＝mv2－0(1分)在该过程中，由重力做功与重力势能变化关系得WG＝mgh－mgH(1分)整理得mgh＋0＝mgH＋mv2(2分)即在此过程中机械能守恒(2)小球由最高点运动到最低点的过程中，由动能定理得mgh＝mv2(2分)由角速度与线速度的关系得ω＝＝(2分)(3)Ⅰ、小球在圆环的最高点时，由牛顿第二定律得mg＝m(2分)小球从释放点运动到圆环最高点的过程中，由机械能守恒定律得mg(h－2R)＝mv12(2分)求得h＝R(1分)Ⅱ、小球不超过圆心高度，则也不脱离轨道(1分)3\n所以h≥R或h≤R(2分)答案 (1)见解析 (2)(3)h≥R或h≤R2.(2022·南京市高三物理最后一卷)如图2甲所示，圆盒为电子发射器，厚度为h，M处是电子出射口，它是宽度为d、长为圆盒厚度的狭缝。其正视截面如图乙所示，D为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿半径向外均匀发射速度率为v的低能电子；与A同轴放置的金属网C的半径为b。不需要电子射出时，可用磁场将电子封闭在金属网以内；若需要低能电子射出时，可撤去磁场，让电子直接射出；若需要高能电子，撤去磁场，并在A、C间加一径向电场，使其加速后射出。不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m，电荷量为e。图2(1)若需要速度为kv(k>1)的电子通过金属网C发射出来，在A、C间所加电压U是多大？(2)若A、C间不加电压，要使由A发射的电子不从金属网C射出，可在金属网内环形区域加垂直于圆盒平面向里的匀强磁场，求所加磁场磁感应强度B的最小值；(3)若在C、A间不加磁场，也不加径向电场时，检测到电子从M射出形成的电流为I，忽略电子碰撞到C、D上的反射效应和金属网对电子的吸收，以及金属网C与绝缘壳D间的距离，求圆柱体A发射电子的功率P。解析 (1)对电子经CA间的电场加速时由动能定理得eU＝m(kv)2－mv2所需加速电压为U＝(2)电子在CA间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切时，对应的磁感应强度为BC。设此轨迹圆的半径为r，则evBC＝m3\n(b－r)2＝r2＋a2解得r＝解得最小磁感应强度为BC＝(3)法一 设时间t内由M口射出的电子数为nI＝，n＝设时间t内从A中发射的电子数为NN＝n＝圆柱体A发射电子的功率为P＝＝法二 设单位时间内由M口射出的电子数为n，则I＝ne设单位时间内由A发射出的电子数为N，则N＝n圆柱体A发射电子的功率为P＝Nmv2＝答案 (1) (2) (3)3
