专题9.2两条直线的位置关系【考纲解读】内容要求备注A B C 平面解析几何初步 直线的平行关系与垂直关系 √ 1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．两条直线的交点 √ 两点间的距离、点到直线的距离 √ 【直击考点】题组一常识题1．若直线l过点(－1，2)，且与直线y＝x垂直，则直线l的方程是________________．[解析]由条件知，直线l的斜率k＝－1，∴其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为__________．[解析]依题有＝1，即b－a＝1，则|AB|＝＝.3．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是________________．[解析]由点到直线的距离公式得，所求距离d＝＝.题组二 常错题4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则两直线之间的距离是________．[解析]∵＝≠－，∴m＝8，∴直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，所求两平行线之间的距离d＝＝2.5．若直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝____________．7\n[解析]由k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，得k＝1或k＝－3.题组三 常考题6．若点(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离为1，则b＝____________．[解析]因为点(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离为1，所以＝1，得b＝2或12.7．已知平行直线l1：2x＋y－a＝0，l2：2x＋y＋1＝0之间的距离为，则实数a＝____________．[解析]由题意知d＝＝＝，所以|1＋a|＝1，得a＝－2或a＝0.8．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是______________．[解析]由已知得，圆心为(0，3)，所求直线的斜率为1，所以所求直线方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.【知识清单】考点1两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.考点2距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离7\n.考点3两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．考点4对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【考点深度剖析】本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现．【重点难点突破】考点1两条直线平行与垂直【1-1】已知两条直线．求证：.【答案】见解析【解析】由于，所以.【1-2】若直线与直线互相垂直，那么的值等于.【答案】【解析】直线与直线互相垂直，所以，解之得：.【思想方法】7\n1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.【温馨提醒】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．考点2距离问题【2-1】已知两条直线．求间的距离．【答案】【解析】即，所以间的距离为：．【2-2】已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积．【答案】【思想方法】1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2.求两条平行线间的距离有两种思路：（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．（2）直接应用两平行直线之间的距离公式.【温馨提醒】7\n涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量.考点3两条直线的交点【3-1】已知两条直线：，：的交点为P(1，－3)，求B、C的值.【答案】【解析】将点P(1，－3)的坐标代入方程、得，解这个方程组得.【3-2】经过两条直线和=0的交点，且斜率为的直线方程是________.【答案】2x﹣y﹣7=0【思想方法】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.【温馨提醒】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.考点4对称问题【4-1】点关于直线对称的点是________.【答案】（-6，-8）【解析】设点关于直线对称的点是，则，解这个方程组得：.【4-2】直线关于点对称的直线方程为________.7\n【答案】【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得或.结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去.所以对称直线的方程中．【4-3】（2022·安徽卷（文理））已知直线若直线与关于对称,则的方程是________.【答案】【思想方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．【温馨提醒】对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解.【易错试题常警惕】7\n[失误与防范]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．7
