(五)空间向量与立体几何1．(2022·盐城模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，点M，N分别在PD，PC上，＝，PM＝MD.(1)求证：PC⊥平面AMN；(2)求二面角B－AN－M的余弦值．(1)证明 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．又∵PA＝AD＝2，∴P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，∴M(0,1,1)，C(2,2,0)．∴＝(2,2，－2)，＝(0,1,1)．5\n∵·＝0＋2－2＝0，∴PC⊥AM.设N(x，y，z)，∵＝，求得N.∵·＝＋－＝0，∴AN⊥PC.又AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，∴PC⊥平面AMN.(2)解 设平面BAN的法向量为n＝(x，y，z)，∵即令z＝－1，∴n＝(0,2，－1)．∵＝(2,2，－2)是平面AMN的法向量，∴cos〈n，〉＝＝.由图知二面角B－AN－M为钝二面角，∴二面角B－AN－M的余弦值为－.2.如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求二面角A－BE－C的正弦值．解 (1)以O为原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)．＝(2，－1,0)，＝(0,2，－1)，5\n∴cos〈，〉＝－，又异面直线所成的角为锐角或直角，∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为.(2)＝(2,0，－1)，＝(0,1，－1)，设平面ABE的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥，n1⊥，得取n1＝(1,2,2)，平面BEC的法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝，∴二面角A－BE－C的余弦值的绝对值为，∴sinθ＝，即二面角A－BE－C的正弦值为.3.三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1－A1D－C1的正弦值．解 (1)由题意知，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3)，则＝(1,2，－3)，＝(0,4,0)，＝(1，－2,3)．设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．由n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0，得y＝0，x＝3z，令z＝1，得x＝3，n＝(3,0,1)．设直线DB1与平面A1C1D所成的角为θ，5\n则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)，＝(2,0,0)．由m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，得a＝0,2b＝3c，令c＝2，得b＝3，m＝(0,3,2)．设二面角B1－A1D－C1的大小为α，|cosα|＝|cos〈m，n〉|＝＝，sinα＝＝.所以二面角B1－A1D－C1的正弦值为.4.如图，在三棱锥S－ABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．(1)若D为棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；(2)求二面角S－BC－A的余弦值的大小．解 连结OB，由题意得OS，OB，OC两两垂直．以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO＝45°，SO＝3.所以O(0,0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，S(0,0,3)，B(3,0,0)．(1)设＝λ(0≤λ≤1)，连结OD，5\n则＝(1－λ)＋λ＝(3(1－λ)，0,3λ)，所以＝(3(1－λ)，－，3λ)．因为＝(3，，0)，CD⊥AB，所以·＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝.故当＝时，CD⊥AB.(2)平面ACB的法向量为n1＝(0,0,1)．设平面SBC的法向量n2＝(x，y，z)，由得解得取z＝1，则n2＝(1，，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.5
