高考填空题分项练3 立体几何1．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积为________．答案 2π解析 圆锥底面周长为2π，母线长为＝，所以它的侧面积为×2π×＝2π.2．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________．答案 8∶27解析 设两球半径分别为r1，r2，∵4πr∶4πr＝4∶9，∴r1∶r2＝2∶3，∴两球体积之比为πr∶πr＝3＝3＝8∶27.3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的个数为________．①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.答案 2解析 对于①，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，所以不正确；对于②，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊂β，所以m⊥n正确；对于③，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，所以不正确；对于④，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又由m⊥β，所以m⊥α正确．6\n综上，正确命题的个数为2.4.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.答案 解析 因为AF⊥平面ABCD，所以AF垂直于平面ABCD内的任意一条直线；又AF∥ED，所以ED垂直于平面ABCD内的任意一条直线．所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝＝.5．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.答案 100π解析 设该铁球的半径为rcm，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.∵E，F分别为AB，AC的中点，∴S△AEF＝S，V1＝h＝Sh，V2＝Sh－V1＝Sh，6\n∴V1∶V2＝7∶5.7．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案 解析 设底面半径为r，则圆锥的母线长为r，圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为＝.8.P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PCB.其中正确的是________．(填序号)答案 ①②③解析 由题意可知OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，①正确；由线面平行的判定定理可知，②③正确；OM与平面PBA及平面PCB都相交，故④⑤不正确．9.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的序号为________．答案 ①③解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，GE，GF⊂平面EFG，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，①正确；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，所以②错；由GF⊥GE，GF⊥GS，GE∩GS＝G，GE，GS⊂平面SEG，得GF⊥平面SEG，所以GF⊥SE，③正确；若EF⊥平面SEG，则EF∥GF，这与EF∩GF＝F矛盾，所以④错．10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝2BC＝4，E，F，G分别为棱AB，BC，CC1的中点，则三棱锥G－A1EF的体积为________．答案 6\n解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连结A1C1，AC，C1F，C1E，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以A1C1∥AC∥EF，所以＝＝＝＝××CC1×BC×AB＝.11．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.答案 ④解析 ①缺少了条件：l⊂α；②缺少了条件：α⊥β；③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．12．正△ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．答案 a解析 如图，作DH⊥AC于点H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC⊂平面ACD，∴BD⊥平面ACD，从而BD⊥DH.∴DH为BH在平面ACD内的射影，∴BH⊥AC.又正△ABC的边长为a，∴DH＝a，∴BH＝＝a.13.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：6\n①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 由题意，可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面ACD1，直线BC1⊄平面ACD1，所以直线BC1∥平面ACD1.所以点P到平面ACD1的距离不变，＝，所以体积不变．故①正确；如图，连结A1C1，A1B，可得平面ACD1∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到点B时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正确；连结DB1，DB，因为直线AC⊥平面DB1B，DB1⊂平面DB1B，所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面AD1C，所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1⊂平面PDB1，所以可得平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．综上，正确命题的序号是①②④.14．(2022·江苏名校联盟联考)如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C为直角，BC＝2，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使平面AEF⊥平面EFBC，当四棱锥A－CBFE的体积最大时，EF6\n的长为________．答案 解析 设AE＝x,0<x<2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴EF＝x，∵EF∥BC，BC⊥AC，∴EF⊥AC，即AE⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFBC，平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊂平面AEF，∴AE⊥平面EFBC，则四棱锥A－CBFE的高为AE，四边形EFBC的面积为(2－x)＝，四棱锥A－CBFE的体积为××x＝，设g(x)＝(0<x<2)，则g′(x)＝，当0<x<时，g′(x)>0，g(x)为增函数，当<x<2时，g′(x)<0，g(x)为减函数，所以当x＝时，g(x)取得最大值．所以当EF＝时，四棱锥A－CBFE的体积最大．6
