专题升级训练8三角恒等变换及解三角形(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝∶4∶，则△ABC是()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是()．A.B.C.D.3．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是()．A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(1，2)4．已知sinθ＝，cosθ＝，则tan等于()．A.B.C.D．55．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于()．A．2B．3C．4D．66．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝()．A.B．－C.D．－二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在△ABC中，C为钝角，＝，sinA＝，则角C＝______，sinB＝______.8．已知tan＝2，则的值为__________.9．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________.三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)(2012·安徽江南十校联考，理16)设函数f(x)＝msinx＋cosx(m为常数，且m>0)，已知函数f(x)的最大值为2.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且b2＝ac.若f(B)＝，求B的值．11．(本小题满分15分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；-5-\n(2)求sinα的值．12．(本小题满分16分)(2012·安徽芜湖一中六模，理16)已知向量a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin2x)，函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝3，c＝1，ab＝2，a>b，求a，b的值．-5-\n参考答案一、选择题1．C解析：依题意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，则最大角为C，cosC＝<0，所以△ABC是钝角三角形，选择C.2．D解析：根据余弦定理得b＝＝7，根据正弦定理＝，解得sinA＝.3．C解析：由三角形有两解的充要条件得asin60°<<a，解得<a<2.故选C.4．D解析：由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ，cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<，∴tan>1，故选D.5．C解析：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝×12＝5.∴原式＝log52＝4.6．C解析：根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.二、填空题7．150°解析：由正弦定理知＝＝，故sinC＝.又C为钝角，所以C＝150°.sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.8.解析：∵tan＝2，-5-\n∴＝2，∴tanx＝.∴＝＝＝＝.9．－解析：∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝，即2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵α∈，∴sinα＋cosα>0，∴sinα＋cosα＝.则＝＝＝＝－.三、解答题10．解：(1)由题意知f(x)＝sin(x＋φ)．∵函数f(x)的最大值为2，且m>0，则＝2，∴m＝.∴f(x)＝sinx＋cosx＝2sin.由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.(2)cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，∴≤cosB<1，∴0<B≤.又∵f(B)＝2sin＝，∴B＝.11．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.28÷2＝14(海里/时)，所以渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法1：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sinα＝＝＝.-5-\n方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得cosα＝，即cosα＝＝.因为α为锐角，所以sinα＝＝＝.12．解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋1＋sin2x＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)及f(C)＝3得2sin＋1＝3，∴sin＝1.∵∠C是三角形的内角，∴2C＋∈，∴2C＋＝，即C＝.∴cosC＝＝，而c＝1，ab＝2，∴a2＋b2＝7.结合ab＝2，可解得a2＝3或4，这时b2＝4或3.又a>b，∴a2＝4，b2＝3，即a＝2，b＝.-5-
