甘肃省兰州一中2022高考冲刺模拟(一)数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,，则图中阴影部分表示的集合A.B．C．D．【答案】B【解析】易知：阴影部分表示集合，因为，因为，所以=。2.已知，为虚数单位，且，则的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，所以。3.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为A．B．C．2D．【答案】C【解析】开始，进入循环，第一次循环：，满足，再次循环；14\n第二次循环：，满足，再次循环；第三次循环：，满足，再次循环；第四次循环：，不满足，结束循环，此时输出的S值为2。4.设函数的最小正周期为，且则A.在单调递增B.在单调递增C.在单调递减D.在单调递减【答案】D【解析】，因为最小正周期为，所以，又因为，所以，所以即，所以，因此选D。5.一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过km的位置都会受其影响，且是区间内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】以原点为圆心，r为半径作圆，易知当时，轮船会遭受台风影响，所以。6.已知四棱锥的三视图如右图所示，则四棱锥的四个侧面中的最大面积是A．B．14\nC．D.【答案】A【解析】四棱锥如图所示：，，所以四棱锥的四个侧面中的最大面积是6.7.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A.B.C.D.【答案】A【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线与直线垂直，且直线过圆心，所以。8.已知等比数列满足，且，则当时，A． B．C．D．【答案】C【解析】。14\n9.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，,若，则点在平面内的轨迹是A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】B【解析】由题意可得，即，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选B．10.椭圆上有两个动点、，，，则·的最小值为A.6B.C.9D.【答案】A【解析】设P点坐标为，则，所以，因为，所以的最小值为。所以·，所以·的最小值为6.11.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”.下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】函数的图象如下左图显然满足要求；函数的一条自公切线为y=5；为等轴双曲线，不存在自公切线；14\n而对于方程，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求。12.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种?A．150B．114C．100D．72【答案】C【解析】先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或者3，1，1，所以共有种分组方法。因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有种。第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）3456销售额（万元）25304045根据上表可得回归方程中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（万元）.【答案】73.5【解析】易知：，因为=7，把点代入回归方程，得，所以，当x=10时，。14.设的展开式中的常数项等于.【答案】-16014\n【解析】，，由，所以，所以展开式中的常数项等于-160.15.已知实数、满足则的最小值为.【答案】【解析】做出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内（包括边）到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y=x的距离，所以的最小值为。16.设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为.【答案】2.【解析】根据题意，对于任意，总有成等差数列，则对于n∈N*，总有………………①；所以（n≥2）……………………②14\n①--②得；因为均为正数，所以（n≥2），所以数列是公差为1的等差数列，又n=1时，，解得，所以。对任意的实数，有0＜lnx＜1，对于任意正整数n，总有，所以又对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有，所以的最小值为2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求a＋b的最大值.18.（本小题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为，第二次抽取卡片的标号为.设为坐标原点，点的坐标为记.（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；(Ⅱ)设PA＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围.14\n20.(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆交于A、B两点.（Ⅰ）如果点A在圆（为椭圆的半焦距）上,且,求椭圆的离心率；（Ⅱ）若函数的图象，无论为何值时恒过定点，求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数，（其中）．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.14\n22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE于F．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若AE是的角平分线，求CD的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）把曲线和的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；14\n（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．甘肃省兰州一中2022高考冲刺模拟(一)数学（理）参考答案及评分标准一．选择题123456789101112BDCDDAACBABC二．填空题1373.5；14-160；15；162.三.解答题17.解：（Ⅰ）由及正弦定理，得（），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴…………………………6分（Ⅱ）∵，，由余弦定理，，即………………………………………………………8分∴，即，∴，当且仅当取“=”，故的最大值是4．……………12分18.14\n19.解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0，0，0)，P(0，0，k)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2,0)，E(1，1，)，F(1，2，0)，…………………………2分(1)∵(0，1，)，(0，2，0)，(-2，0，0)，∴，，∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF………………………………6分(2)设面BCD的法向量为，则(0，0，1)，设面BDE的法向量为(x，y，z),∵(-1，2，0)，(0，1，)，∴，∴(2，1，)，……………………………………8分∵二面角E-BD-C大于30°，∴cos，……………10分∴，即，∴………………………………12分20.解：（1）∵点A在圆，由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，……………………5分（2）∵函数14\n∴点F1（－1，0），F2（1，0），①，∴……………………7分②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）由…………（*）方程（*）有两个不同的实根.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根…………………………11分由①②知…………………………………………………12分21.解：（Ⅰ），∴（，），由，得，由，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值．3分（Ⅱ）函数，14\n则，令，∵，解得，或（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．函数在区间内有两个零点，只需即∴故实数a的取值范围是．7分（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．设，得在上单调递增，在上单调递减．∴，∵=，∴，∴，故当时，．12分22.解：23．解：14\n24．解：14
