2022福建省高考压轴卷数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟.参考公式：锥体体积公式,其中为底面面积，为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为()A.B.C.D.22．设R，则“”是“直线与直线平行”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3．设函数，则下列结论中正确的是()A.B.C.D.开始否n＝3n+1n为偶数k＝k＋1结束n＝5，k＝0是输出kn=1?否是4．设等差数列的前项和是，若(N*,且)，则必定有()A.，且B.，且C.，且D.，且5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是()A.B.C.D.6．设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为()A.B.或C.D.或7．设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为()A.B.C.D.168．已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是()A.B.C.D.\n9．设函数，则函数的零点的个数为()A.4B.5C.6D.710．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11．从中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．y(0,7)(7,0)Ox12．无穷数列的首项是，随后两项都是，接下来项都是，再接下来项都是，…，以此类推.记该数列为，若，，则．13．若正数满足，则的最小值为．14．在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长为．15．若整数满足不等式组,则的最大值为\n三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．16．设.(Ⅰ)求的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足,，求的值.17．已知甲箱中只放有x个红球与y个白球且，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别).若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时的值；(Ⅱ)当时，求取出的3个球中红球个数的期望.18．已知数列满足,其中N*.(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；\n(Ⅱ)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C：的离心率为，右焦点到直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线上，求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).20．已知函数若存在函数使得恒成立，则称是\n的一个“下界函数”.（I）如果函数为实数为的一个“下界函数”，求的取值范围；（Ⅱ）设函数试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.21．()[选修4-2:矩阵与变换]已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.\n(2)[选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.（3）[选修:不等式选讲]：已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.2022福建省高考压轴卷数学理试题答案1.B【解析】由题意，得：，复数的模2.C【解析】由题意，，即充分。又，注意到此时不重合，即必要。\n3.D【解析】由题意，，即为偶函数。故.显然单调递增。所以4.C【解析】由题意，得：。显然，易得，5.B【解析】由题意，得：n=5,k=0n=16,k=1,n=8,k=2,n=4,k=3,n=2,k=4,n=1,k=5终止，当时，执行最后一次循环；当时，循环终止，这是关键。输出。6.D【解析】由题意，分或两种情况：（1）时，，此时在上单调递减，故（2）时，，此时在上单调递增，故7.B【解析】由题意，得：显然，AB最短即通径，，故8.A【解析】、不难分析，A、B分别表示两个圆，要满足，即两圆内切或内含。故圆心距，即：.显然，，故只有(A)项满足。9.C【解析】由题意，的零点，即的交点。易绘的函数图象，且当时，依次类推，易得\n又,同理，(4,0)xy(2,0)O(6,0)(8,0)不难绘出的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。10.B【解析】先化简：又当且仅当时，数列的前项和取得最大值，即：11.【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。【1】没0：2必填个位，种填法；【2】有0：0填个位，种填法；0填十位，2必填个位，种填法；所以，偶数的个数一共有++=10种填法。12.【解析】将分组成。第组有个数，第组有个数，以此类推...显然在第组，在第组。易知，前20组共个数.所以，。13.【解析】由题意：，14.【解析】由题意：设弦长为圆心到直线的距离15.【解析】由题意，绘出可行性区域如下：设，即求\n的截距的最大值。因为，不妨找出附近的“整点”。有(3,3)、(3,4)满足.显然过(3,4)时，最大.16.【解析】（I）故的最大值为，最小正周期为.(II)由得，故，又由，解得。再由，.17.【解析】(I)由题意知，当且仅当时等号成立，所以，当取得最大值时.(II)当时，即甲箱中有个红球与个白球，所以的所有可能取值为则，，,，所以红球个数的分布列为于是.18.【解析】（I）证明，所以数列是等差数列，，因此，由得.(II),,所以，依题意要使对于恒成立，只需解得或，所以的最小值为.\n19.【解析】(I)由题意得，，所以，所求椭圆方程为.(II)设，把直线代入椭圆方程得到，因此，，所以中点，又在直线上，得，，故，，所以，原点到的距离为，得到，当且仅当取到等号，检验成立.20．解：（I）解法一：由得………………………1分记则…………………………………2分当时，所以在上是减函数，当时，所以在上是增函数，…………3分因此即………………………………………5分解法二：由得设则………………………………………1分（1）若由知在上是增函数，在上是减函数，………………………2分因为恒成立，所以解得……………3分（2）若当且时，此与恒成立矛盾，故舍去；……………………………………4分综上得……………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：函数\n由（I）知即………………………………………6分………………………………………7分设函数（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，故因为所以即………………………8分（2）当时，……………………9分综上知所以函数不存在零点.……………………………10分解法二：前同解法一，………………7分记则所以在上是减函数，在上是增函数，因此………………………………………9分故所以函数不存在零点.……………………10分解法三：前同解法一，因为故………………………7分设函数因此即…………………………………9分故所以函数不存在零点.…………………………………10分解法四：前同解法一，因为故………………………7分从原点作曲线的切线设切点为，那么把点代入得所以\n所以（当且仅当时取等号），即…………………9分故所以函数不存在零点.……………………………………10分21.（1）解:∵,∴.∵,∴.∴矩阵的特征多项式为.令,解得矩阵的特征值.（2）解:∵圆圆心为直线与极轴的交点,∴在中令,得.∴圆的圆心坐标为(1,0).∵圆经过点,∴圆的半径为.∴圆经过极点.∴圆的极坐标方程为.（3）【解析】(1)当时,或或或(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立
