课时提升练(五十三) 几何概型一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥cosx”发生的概率为( )A. B.C.D．1【解析】 ∵sinx≥cosx，x∈[0，π]，∴≤x≤π，∴事件“sinx≥cosx”发生的概率为＝.【答案】 C2．(文)(2022·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为( )A.B.C.D．π【解析】 如图，满足|PA|≤1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为＝＝.【答案】 C3．如图1038所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )图10386\nA．1－B.C．1－D．与a的取值有关【解析】 由题意知，阴影部分的面积为a2－4××π2＝a2，故概率为1－.【答案】 A4．(2022·阜阳模拟)一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过rkm的位置都会受其影响，且r是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( )A.B．1－C.－1D．2－【解析】 以O为圆心，r为半径作圆，易知当r＞5时，轮船会遭受台风影响，所以P＝＝＝2－.【答案】 D5．如图1039，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )图1039A．1－B.－C.D.【解析】 法一 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－6\n＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝＝1－.法二 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.如图，连接AB，由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝＝＝1－.【答案】 A6．(2022·嘉兴模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )A. B.C. D.【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝.【答案】 B二、填空题7．如图10310所示，在直角坐标系内，射线OT6\n落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．图10310【解析】 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.【答案】 8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．【解析】 如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.【答案】 9．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为________．【解析】 依题意得，模型飞行“安全飞行”的概率为3＝.【答案】 三、解答题10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求方程有实根的概率．【解】 记事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝6\n＝.11．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率．【解】 如图所示，不等式表示的平面区域是△ABC的内部及其边界，又圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到x＋y－＝0与x－y＋＝0的距离均为1，∴直线x＋y－＝0与x－y＋＝0均与单位圆x2＋y2＝1相切，记“点P落在x2＋y2＝1内”为事件A，∵事件A发生时，所含区域面积S＝π，且S△ABC＝×2×＝2，故所求事件的概率P(A)＝＝.12．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．【解】 (1)依题意＝，得n＝2.(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.6\n6
