课时提升练(二十二) 正弦定理和余弦定理的应用举例一、选择题1．如图379所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于( )图379A. B. C. D.【解析】 由题意可得，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.故选A.【答案】 A2．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)( )A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m【解析】 依题意画出示意图．则＝，∴CM＝×10≈37.3(m)．【答案】 C3．如图3710所示，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )7,图3710A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】 依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.【答案】 B4．如图3711所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为( )图3711A.B.C.D.【解析】 如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)，EF＝＝＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.故选A.【答案】 A5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为107,m(如图3712所示)，则旗杆的高度为( )图3712A．10mB．30mC．10mD．10m【解析】 如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得＝，所以BC＝20×＝20(m)，在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝20×＝30(m)．【答案】 B6．如图3713所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于( )图3713A.B.C.D.【解析】 如题图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20，由正弦定理得，7,∴sin∠ACB＝sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.【答案】 B二、填空题7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.【解析】 如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.【答案】 －18．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C，D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60°方向，灯塔D在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是________海里/小时．【解析】 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．【答案】 109．如图3714所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．7,图3714【解析】 由条件可知OD＝2×50＝100米，DC＝3×50＝150米．且∠ODC＝60°，在△OCD中，OC2＝OD2＋DC2－2×OD×DC×cos60°＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，∴OC＝50(米)．【答案】 50三、解答题10.如图3715所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？图3715【解】 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20(海里)．在△DBC中，由余弦定理得7,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900.∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．11．如图3716所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以每小时100千米的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500千米且与海岸距离为300千米的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交送给这辆汽车的司机．图3716(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．【解】 (1)设快艇以v千米/小时的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇．在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300.设∠BAC＝α，则sinα＝，cosα＝，由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcosα，∴v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·，整理得：v2＝－＋10000＝250000＋10000－＝2500002＋3600.当＝，即t＝(小时)时，v＝3600，vmin＝60.即快艇至少以60千米/小时的速度行驶才能把稿件送到司机手中．(2)当v＝60千米/小时时，在△ABC中，7,AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375，由余弦定理cos∠ABC＝＝0，∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶．12．郑州市某广场有一块不规则的绿地如图3717所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.图3717(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比．不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)．【解】 (1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝，在△ABD中，由余弦定理得cosD＝＝，由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7.所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用较低．理由如下：易知S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC，因为AD·BD＞AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD＞S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．即小李的设计使建造费用较低．7
