课时提升练(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)【解析】 ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴∴.【答案】 A2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b【解析】 3a－b＝3(1,1)－(－1,1)＝(3,3)－(－1,1)＝(4,2)．【答案】 B3．已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D是BC边的中点，则||等于( )A．2B．4C．6D．8【解析】 由题意知＋＝2，∴＝(＋)＝2m－2n＝2(2,0)－2＝(1，－)．∴||＝＝2.【答案】 A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【解析】 4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】 D5\n5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝，若a与b共线，则y＝f(x)的最小值是( )A．－B．－4C．－D．－3【解析】 因为a与b共线，故y－1＝x，即：y＝x2－3x＋1＝(x－3)2－.所以y＝f(x)的最小值为－.【答案】 C6．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)【解析】 ＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．【答案】 B7．如图425，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )图425A.＝＋B.＝－C.＝＋D.＝＋【解析】 由向量减法的三角形法则知，＝－5\n，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，＝＋，＝＝＋.排除A、C.【答案】 D8．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )A.B.C.D.【解析】 由p∥q知(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.【答案】 B9．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4【解析】 由题意kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确；∵＋＝，∴②错；∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．【答案】 C10．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)【解析】 ∵a在基底p、q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)．5\n∴，即.∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．【答案】 D11．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 由题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且、不共线，于是有x＝1－λ∈.【答案】 D12．非零不共线向量，，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x、y)的轨迹方程为( )A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0【解析】 ＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ，又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.【答案】 A二、填空题13．(2022·湖北高考)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.【解析】 由题意，可知△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.【答案】 25\n14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.【解析】 ∵＝＋，∴－＝－＋＝(－)，∴＝，∴＝.【答案】 15．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．【解析】 P中，a＝(－1＋m,1＋2m)；Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)，则得此时a＝b＝(－13，－23)．【答案】 {(－13，－23)}16．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．【解析】 由O、P、B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)，又＝－＝(－2,6)，且与共线，所以(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点坐标为(3,3)．【答案】 (3,3)5
