高考必备——高中数学常用公式及常用结论一、集合与简易逻辑1．德摩根公式∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．2．包含关系A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA⇔A∩∁UB＝∅⇔∁UA∪B＝R.3.集合{a1，a2，…，an}的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．4．真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假5.充要条件(1)充分条件：若p⇒q，则p是q充分条件．(2)必要条件：若q⇒p，则p是q必要条件．(3)充要条件：若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件．注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然．二、函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．函数的单调性(1)设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数．3．函数的奇偶性(1)若函数y＝f(x)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x－a)；(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)．4．函数的对称性(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)；11\n(2)对于函数y＝f(x)(x∈R)，f(x＋a)＝f(b－x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x＝；(3)两个函数y＝f(x＋a)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；(4)若f(x)＝－f(－x＋a)，则函数y＝f(x)的图象关于点对称．5．函数的周期性(约定a>0)(1)f(x)＝f(x＋a)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x)＝－f(x＋a)，或f(x＋a)＝(f(x)≠0)，或f(x＋a)＝－(f(x)≠0)，或＋＝f(x＋a)，(f(x)∈[0,1])，则f(x)的周期T＝2a.6．图象平移若将函数y＝f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y＝f(x－a)＋b的图象；若将曲线f(x，y)＝0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x－a，y－b)＝0的图象．7．分数指数幂(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．8．根式的性质(1)()n＝a；(2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝9．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．10．指数式与对数式的互化式logaN＝b⇔ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)11．对数的换底公式logaN＝(a＞0，且a≠1，m＞0，且m≠1，N＞0)．推论logambn＝logab(a＞0，且a＞1，m，n＞0，且m≠1，n≠1，N＞0)．12．对数的四则运算法则11\n若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．三、导数1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．几种常见函数的导数(1)C′＝0(C为常数)．(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．(3)(sinx)′＝cosx.(4)(cosx)′＝－sinx.(5)(lnx)′＝；(logax)′＝.(6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna.3．导数的运算法则(1)(u±v)′＝u′±v′.(2)(uv)′＝u′v＋uv′.(3)′＝(v≠0)．(文)4.判别f(x0)是极大(小)值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值．四、三角函数、解三角形1．同角三角函数的基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1；tanθ＝.2．正弦、余弦的诱导公式sin＝cos＝3．和角与差角公式Tα±β：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；Cα±β：cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；11\nTα±β：tan(α±β)＝.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).5．二倍角公式S2α：sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝.6．三角函数的周期公式(1)函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝cos(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝；(2)函数y＝tan(ωx＋φ)，x≠kπ＋，k∈Z(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.7．正弦定理＝＝＝2R.8．余弦定理(1)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)求角：cosA＝；cosB＝；cosC＝.9．三角形面积定理(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)．(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.10．三角形内角和定理在△ABC中，有A＋B＋C＝π⇔C＝π－(A＋B)⇔＝－⇔2C＝2π－2(A＋B)．五、向量1．实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.2．向量的数量积的运算律11\n(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝λa·b＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.4．a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cosθ.5．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)．(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(4)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)．(5)设a＝(x，y)，则|a|＝.6．两向量的夹角公式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则cosθ＝＝.7.向量的平行与垂直a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.8．两向量的夹角公式cosθ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．9．三角形四“心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔2＝2＝2.(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.六、数列1．数列的通项公式与前n项的和的关系an＝(数列{an}的前n项的和为Sn＝a1＋a2＋…＋an)．2．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)；11\n其前n项和公式为Sn＝＝na1＋d＝n2＋n.3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝·qn(n∈N*)；其前n项的和公式为Sn＝或Sn＝七、不等式1．常用不等式(1)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．(2)a，b∈R＋⇒≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．最值定理已知xy都是正数，则有(1)若积xy是定值p，则当x＝y时和x＋y有最小值2；(2)若和x＋y是定值s，则当x＝y时积xy有最大值s2.八、立体几何1．柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积＝2πrl，表面积＝2πrl＋2πr2，圆锥侧面积＝πrl，表面积＝πrl＋πr2，V柱体＝Sh (S是柱体的底面积，h是柱体的高)．V锥体＝Sh (S是锥体的底面积，h是锥体的高)．球的半径是R，则其体积V＝πR3，其表面积S＝4πR2.2．证明直线与直线平行的方法(1)三角形中位线；(2)平行四边形(一组对边平行且相等)．3．证明直线与平面平行的方法(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)；(2)先证面面平行．4．证明平面与平面平行的方法平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行)．5．证明直线与直线垂直的方法转化为证明直线与平面垂直．6．证明直线与平面垂直的方法11\n(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直)．(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)．7．证明平面与平面垂直的方法平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)．九、解析几何1．斜率公式k＝(P1(x1，y1)、P2(x2，y2)且x1≠x2)．2．直线的五种方程(1)点斜式y－y1＝k(x－x1)(直线l过点P1(x1，y1)，且斜率为k)．(2)斜截式y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距)．(3)两点式＝(P1(x1，y)、P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2)．(4)截距式＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠0)．(5)一般式Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)．3．两条直线的平行和垂直(1)若l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2①l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；②l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)若l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，且A1、A2、B1、B2都不为零，①l1∥l2⇔＝≠；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.4．点到直线的距离d＝(点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0)．5.圆的方程(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(圆心坐标为(a，b)，半径为r)．(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．(3)圆的直径式方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．6.点与圆的位置关系点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：d＞r⇔点P在圆外；d＝r⇔点P在圆上；d＜r⇔点P在圆内，其中d＝.7．直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：d＞r⇔相离⇔Δ＜0；d＝r⇔相切⇔Δ＝0；d＜r⇔相交⇔Δ＞0.11\n其中d＝.8．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d，d＞r1＋r2⇔外离⇔4条公切线；d＝r1＋r2⇔外切⇔3条公切线；|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔相交⇔2条公切线；d＝|r1－r2|⇔内切⇔1条公切线；0＜d＜|r1－r2|⇔内含⇔无公切线．9．圆的切线方程(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x0x＋y0y＝＋＋F＝0.当(x0，y0)在圆外时，x0x＋y0y＋＋＋F＝0表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为y＝kx＋b，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆x2＋y2＝r2.①过圆上的P0(x0，y0)点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②斜率为k的圆的切线方程为y＝kx±r.10．点与椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)的内部⇔＋＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)的外部⇔＋＞1.11．直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|＝或|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|·(弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程消去y得到ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0，α为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).12．椭圆的切线方程(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是＋＝1.(2)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是＋＝1.(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2＋B2b2＝c2.13．点与双曲线的位置关系11\n(1)点P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的内部⇔－＞1.(2)点P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的外部⇔－＜1.14．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为－＝1⇒渐近线方程：－＝0⇔y＝±x.(2)若双曲线与－＝1有公共渐近线，可设为－＝λ(λ＞0，焦点在x轴上，λ＜0焦点在y轴上)．15．双曲线的切线方程(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1.(2)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是－＝1.(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2－B2b2＝c2.16．抛物线y2＝2px的焦半径公式抛物线y2＝2px(p＞0)焦半径|CF|＝x0＋.过焦点弦长|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.11\n17.点与抛物线的位置关系(1)点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)的内部⇔y＜2px0(p＞0)．点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)的外部⇔y＞2px0(p＞0)．(2)点P(x0，y0)在抛物线y2＝－2px(p＞0)的内部⇔y＜－2px0(p＞0)．点P(x0，y0)在抛物线y2＝－2px(p＞0)的外部⇔y＞－2px0(p＞0)．(3)点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的内部⇔x＜2py0(p＞0)．点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的外部⇔x＞2py0(p＞0)．(4)点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的内部⇔x＜2py0(p＞0)．点P(x0，y0)在抛物线x2＝－2py(p＞0)的外部⇔x＞－2py0(p＞0)．18.抛物线的切线方程(1)抛物线y2＝2px上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)．(2)过抛物线y2＝2px外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y＝p(x＋x0)．(3)抛物线y2＝2px(p＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是pB2＝2AC.(文)十、概率与统计1．平均数、方差、标准差的计算平均数：＝，方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，标准差：s＝.2．回归直线方程y＝a＋bx，其中b＝＝.3．独立性检验K2＝.4．古典概型的计算必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏，其中P(A)＝＝.5.几何概型的概率计算公式P(A)＝.11\n6．互斥事件A，B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(文)十一、复数1．复数的相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．2．复数z＝a＋bi的模(或绝对值)|z|＝|a＋bi|＝.3．复数的四则运算法则(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．11
