考点1.5数列综合精讲考点汇总表题号考点难度星级命题可能8函数零点★★★★○○○○○9三角恒等变换★★★○○○○12不等式★★★★○○○○○16解三角形★★★★○○○○○20数列综合★★★★○○○○22导数应用★★★★★○○○○○【原题再现】20.已知等比数列an的前n项和Sn=3n-12，等差数列bn的前5项和为30，且b7=14.（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式；（Ⅱ）求数列an⋅bn的前n项和Tn.试题解析：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=31-12=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1-12=3n-1.综上所述，an=3n-1n∈N*.设数列bn的公差为d，故b1+6d=14,5b1+10d=30,解得b1=2，d=2，故bn=2nn∈N*.7\n点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.数列综合★★★★○○○○1．等差数列的判定：①（为常数）；②；③（为常数）；④（为常数）．其中用来证明方法的有①②．2.等比数列的判定：①（）；②（）；③；④其中用来证明方法的有①②．3．等差数列的通项公式：，2．等比数列的通项公式：，4．等差数列前n项和公式：Sn=Sn=7\n5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=Sn=6等差数列{an}中，若m+n=p+q，则7等比数列{an}中，若m+n=p+q，则8等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、……仍为等差数列.9等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）10两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列11两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列12.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列13等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列14．等差中项公式：A=（有唯一的值）15.等比中项公式：G=（ab>0，有两个值）1.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个.(2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式7\n求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法“特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4.利用转化，解决递推公式为与的关系式.数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式成立的条件5．等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含(或)，与这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中(或)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．7\n[易错提示] 等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．6.等差数列前项和的最值问题对于等差数列前项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：，时，有最大值；，时，有最小值.常用下面两个方法去解决：(1)若已知，可用二次函数最值的求法（）；(2)若已知，则最值时的值（）可如下确定或.7.利用等比数列求和公式注意的问题在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比分两种情况进行讨论.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设数列的公差为，则即又因为，所以所以.（2）因为，所以.因为存在，使得7\n成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立.又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.1．数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（）A．B．C.D．【答案】B2．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为（）A．B．C.D．【答案】C【解析】,令，则，两式作差得，所以，又，当7\n时，即得的最小值为，故选C.3．已知数列中，，（，）.（1）写出、的值（只写出结果），并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】⑴，，当时，，当时，也满足上式，________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7
