考点1.6导数应用精讲考点汇总表题号考点难度星级命题可能5不等式★★★○○○○○10函数零点★★★★○○○○11三角恒等变换★★★★○○○○○16解三角形★★★★○○○○○20数列综合★★★★○○○○22导数应用★★★★★○○○○○【原题再现】22．已知函数fx=ex-12x2.（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；（Ⅱ）已知点M1,0，曲线y=fx在点Px0,fx0-1≤x0≤1处的切线l与直线x=1交于点N，求ΔMON（O为坐标原点）的面积最小时x0的值，并求出面积的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）依题意，f'x=ex-x.令mx=ex-x，故m'x=ex-1，令m'x=0，解得x=0，故mx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故mxmin=m0=1，故ex-x>0，即f'x>0，故函数fx在R上单调递增.14\n设gx=1-12xex-12x，x∈-1,1.则g'x=-12ex-12x+1-12xex-12=-12x-1ex-1，令g'x=0，得x=0或x=1.gx，g'x的变化情况如下表：所以gx在-1,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以gxmin=g0=1，即x0=0时，ΔMON的面积有最小值1.导数的应用★★★★★○○○○○1.函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是．相应地，切线方程为．2.借助导数研究函数单调性14\n一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；3.借助导数研究函数的极值若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值4.借助导数研究函数最值求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y=f,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．3．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．14\n(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．4．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．(2)求导数．(3)①若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解．5.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.6.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.14\n（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=a2x2+x-a(a∈R)．（Ⅰ）若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N两点.设曲线y=f(x)在点M处的切线为l1，y=g(x)在点N处的切线为l2.（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1，x2，且x1<x2．若λ>0，且λlnx2-λ>1-lnx1恒成立，求λ的取值范围．【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x|x>0}.f'(x)=1+lnx，g'(x)=ax+1.（ⅰ）当m=e时，f'(e)=2，g'(e)=ae+1.因为l1⊥l2，所以f'(e)⋅g'(e)=-1.即2(ae+1)=-1.解得a=-32e.(ⅱ)因为l1∥l2，则f'(m)=g'(m)在(0，+∞)上有解.即lnm-am=0在(0，+∞)上有解.设F(x)=lnx-ax，x>0，则F'(x)=1x-a=1-axx.当a≤0时，F'(x)>0恒成立，则函数F(x)在(0，+∞)上为增函数.1∘当a<0时，取x=ea，F(ea)=a-aea=a(1-ea)<0.取x=e，F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0，+∞)上存在零点.20当a=0时，F(x)=lnx存在零点，x=1，满足题意.（2）当a>0时，令F'(x)=0，则x=1a.则F(x)在(0，1a)上为增函数，(1a,+∞)上为减函数.所以F(x)的最大值为F(1a)=ln1a-1≥0.解得0<a≤1e.取x=1，F(1)=-a<0.因此当a∈(0,1e]时，方程F(x)=0在(0，+∞)上有解.所以，a的最大值是1e.14\n（Ⅱ）h(x)=xlnx-a2x2-x+a(x>0),h'(x)=lnx-ax.因为x1,x2为h(x)在其定义域内的两个不同的极值点，所以x1,x2是方程lnx-ax=0的两个根.即lnx1=ax1，lnx2=ax2.两式作差得，a=lnx1-lnx2x1-x2.因为λ>0,0<x1<x2，由λlnx2-λ>1-lnx1，得1+λ<lnx1+λlnx2.则1+λ<a(x1+λx2)⇔a>1+λx1+λx2⇔lnx1-lnx2x1-x2>1+λx1+λx2⇔lnx1x2<(1+λ)(x1-x2)x1+λx2.令t=x1x2，则t∈(0,1)，由题意知:lnt<(1+λ)(t-1)t+λ在t∈(0,1)上恒成立，令φ（t)=lnt-(1+λ)(t-1)t+λ，则φ'(t)=1t-(1+λ)2(t+λ)2=(t-1)(t-λ2)t(t+λ)2.当λ2≥1，即λ≥1时，∀t∈(0,1)，φ'(t)>0，所以φ(t)在(0,1)上单调递增.又φ(1)=0，则φ(t)<0在(0,1)上恒成立.当λ2<1，即0<λ<1时，t∈(0,λ2)时，φ'(t)>0，φ(t)在(0,λ2)上为增函数；当t∈(λ2，1)时，φ'(t)<0，φ(t)在(λ2，1)上为减函数.又φ(1)=0，所以φ(t)不恒小于0，不合题意.综上，λ∈[1,+∞).1.已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A14\n2.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知方程在上有解，等价于．令，则．令，得或1，则由，，，比较大小知，，所以实数的取值范围是，故选D．3.已知函数．（1）求函数在区间上的最大值；（2）若，是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明．【解析】（1），当时，时，，，当时，时，，，当时，由，得，，又，则有如下分类：14\n③当，即时，在上是减函数，所以综上，函数在上的最大值为（2），，令，，，所以在上是增函数，又，当时，，，，故，当时，，，，故。综上知，.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________14\n1.已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为___________．【答案】2.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，为增函数，当时，，为增函数，令，解得，故函数在上递减，上递增，最小值为14\n.由此画出函数图像如下图所示，令，因为，所以，则有，所以，所以，要有三个不同实数根，则需，解得.3.已知，则的值为_______.【答案】【解析】4.过点，且倾斜角为的直线与圆相交于两点，若，则的值为(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由已知得圆心，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，因为，所以圆心到直线的距离为，则，解得，即，所以，故选D．14\n5.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B6.已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．7.设，若不等式对所有满足题设的均成立，则实数的最大值为____________．【答案】【解析】，因为14\n所以设，则，因此的最小值，而，当且仅当时取等号，从而，即实数的最大值为.8.已知，则的最大值为_____________．【答案】9.已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，（），若成等差数列，则（ ）A．8 B．9 C．7或8 D．8或9【答案】D【解析】当时，，解得；当时，由，得，则，整理，得，配方，得．由题意知，数列为单调递增数列，且，则，即，所以数列为等差数列，则，所以，则由成等差数列，得，所以．因为，故只能取2，3，5．当时，；当时，；当时，，所以或9，故选D．10.数列的前项和满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范围.14\n11.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对函数求导得.存在极值，在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.故选B．12.设函数（1）令（），若的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，，求的取值范围．【解析】（1），，则有在上恒成立，所以14\n，，当时，取得最大值，所以.（2）因为，令，则，即，令，则，令，∵在上是减函数，又∵，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，∵，∴当函数有且仅有一个零点时，.当时，，若，则，，令得或，又∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，∵，，∴．14
