第3讲机械能守恒定律能的转化和守恒定律1.图5－3－15如图5－3－15所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a点，乙小球竖直下落经过b点，a、b两点在同一水平面上，不计空气阻力，以下说法中正确的选项是( )A．甲小球在a点的速率等于乙小球在b点的速率B．甲小球到达a点的时间等于乙小球到达b点的时间C．甲小球在a点的机械能等于乙小球在b点的机械能(相对同一个零势能参考面)D．甲小球在a点时重力的功率等于乙小球在b点时重力的功率解析：由机械能守恒得两小球到达a、b两处的速度大小相等，A、C正确；设斜面的倾角为α，甲小球在斜面上运动的加速度为a＝gsinα，乙小球下落的加速度为a＝g，由t＝可知t甲＞t乙，B错误；甲小球在a点时重力的功率P甲＝mgvsinα，乙小球在b点时重力的功率P乙＝mgv，D错误．答案：AC2．图5－3－16一根质量为M的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图5－3－16(a)所示．将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v1.假设在链条两端各系一个质量均为m的小球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图5－3－16(b)所示．再次将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v2，以下判断中正确的选项是( ) A．假设M＝2m，那么v1＝v2B．假设M＞2m，那么v1＜v2C．假设M＜2m，那么v1＞v2D．不管M和m大小关系如何，均有v1＞v2答案：D3.10/10\n图5－3－17在奥运比赛工程中，高台跳水是我国运发动的强项．质量为m的跳水运发动进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，以下说法正确的选项是(g为当地的重力加速度)( )A．他的动能减少了FhB．他的重力势能增加了mghC．他的机械能减少了(F－mg)hD．他的机械能减少了Fh解析：由动能定理，ΔEk＝mgh－Fh，动能减少了Fh－mgh，A选项不正确；他的重力势能减少了mgh，B选项错误；他的机械能减少了ΔE＝Fh，C选项错误，D选项正确．答案：D4．图5－3－18如图5－3－18所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m＝0.1kg的铁块，它与纸带右端的距离为L＝0.5m，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1.现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为s＝0.8m．已知g＝10m/s2，桌面高度为H＝0.8m，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动．求：(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t1；(3)纸带抽出过程产生的内能E.解析：(1)水平方向：s＝vt①竖直方向：H＝gt2②由①②联立解得：v＝2m/s.(2)设铁块的加速度为a1，由牛顿第二定律，得μmg＝ma1③纸带抽出时，铁块的速度v＝a1t1④③④联立解得t1＝2s.10/10\n(3)铁块的位移s1＝a1t⑤设纸带的位移为s2；由题意知，s2－s1＝L⑥由功能关系可得E＝μmgs2＋μmg(s2－s1)⑦由③④⑤⑥⑦联立解得E＝0.3J.答案：(1)2m/s (2)2s (3)0.3J5.图5－3－19(2022·成都市摸底测试)如图5－3－19所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量m＝2kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．假设g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；(2)满足设计要求的木箱质量．解析：(1)设木箱质量为m′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：m′gsin37°＋μm′gcos37°＝m′a代入数据解得：a＝8m/s2.(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为Ep，根据能量守恒定律：货物和木箱下滑过程中有：(m′＋m)gsin37°L＝μ(m′＋m)gcos37°L＋Ep木箱上滑过程中有Ep＝m′gsin37°L＋μm′gcos37°L联立代入数据解得：m′＝m＝2kg.答案：(1)8m/s2 (2)2kg1.图5－3－20如图5－3－20所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R10/10\n的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，那么此过程中铁块损失的机械能为( )A.mgRB.mgRC.mgRD.mgR解析：设铁块在圆轨道底部的速度为v，那么1.5mg－mg＝m，由能量守恒有：mgR－ΔE＝mv2，所以ΔE＝mgR.答案：D2.图5－3－21如图5－3－21所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止下滑，在物体下滑过程中，以下说法正确的选项是( )A．物体的重力势能减少，动能增加B．斜面的机械能不变C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D．物体和斜面组成的系统机械能守恒解析：物体下滑过程中，由于物体与斜面相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面加速运动，斜面的动能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，且夹角大于90°，所以物体抑制相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，故A项正确，B、C项错误．对物体与斜面组成的系统内，只有动能和重力势能之间的转化，故系统机械能守恒，D项正确．答案：AD3.图5－3－22如图5－3－22所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，演员a站于地面，演员b从图示的位置由静止开场向下摆，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，演员a刚好对地面无压力，那么演员a与演员b质量之比为( )A．1∶1B．2∶1C．3∶1D．4∶1解析：由机械能守恒定律求出演员b下落至最低点时的速度大小为v.mv2＝mgl(1－cos10/10\n60°)，v2＝2gl(1－cos60°)＝gl.此时绳的拉力为T＝mg＋m＝2mg，演员a刚好对地压力为0.那么mag＝T＝2mg.故ma∶m＝2∶1.答案：B4.图5－3－23如图5－3－23所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开场释放b后，a可能到达的最大高度为( )A．hB．1.5hC．2hD．2.5h解析：考察机械能守恒定律．在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到达的最大高度为1.5h，B项正确．答案：B5.图5－3－24如图5－3－24所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3kg的物体被一个劲度系数为120N/m的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3m才停下来，以下说法正确的选项是(g取10m/s2)( )A．物体开场运动时弹簧的弹性势能Ep＝7.8JB．物体的最大动能为7.8JC．当弹簧恢复原长时物体的速度最大D．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x＝0.05m解析：物体离开弹簧后的动能设为Ek，由功能关系可得：Ek＝μmgx1＝7.8J，设弹簧开场的压缩量为x0，那么弹簧开场的弹性势能Ep0＝μmg(x0＋x1)＝7.8J＋μmgx0＞7.8J，A错误；当弹簧的弹力kx2＝μmg时，物体的速度最大，得x2＝0.05m，D正确，C错误；物体在x2＝0.05m到弹簧的压缩量x2＝0的过程做减速运动，故最大动能一定大于7.8J，故B错误．答案：D10/10\n6.图5－3－25如图5－3－25所示，电梯由质量为1×103kg的轿厢、质量为8×102kg的配重、定滑轮和钢缆组成，轿厢和配重分别系在一根绕过定滑轮的钢缆两端，在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，定滑轮与钢缆的质量可忽略不计，重力加速度g＝10m/s2.在轿厢由静止开场以2m/s2的加速度向上运行1s的过程中，电动机对电梯共做功为( )A．2.4×103JB．5.6×103JC．1.84×104JD．2.16×104J解析：电动机做功：W＝(M－m)gh＋(M＋m)v2＝(1000－800)×10×1＋(1000＋800)×22＝5600J.答案：B7.图5－3－26来自福建省体操队的运发动黄珊汕是第一位在奥运会上获得蹦床奖牌的中国选手．蹦床是一项好看又惊险的运动，如图5－3－26所示为运发动在蹦床运动中完成某个动作的示意图，图中虚线PQ是弹性蹦床的原始位置，A为运发动抵达的最高点，B为运发动刚抵达蹦床时的位置，C为运发动抵达的最低点．不考虑空气阻力和运发动与蹦床作用时的机械能损失，A、B、C三个位置运发动的速度分别是vA、vB、vC，机械能分别是EA、EB、EC，那么它们的大小关系是( )A．vA<vB，vB>vCB．vA>vB，vB<vCC．EA＝EB，EB>ECD．EA>EB，EB＝ECA机械能守恒，EA＝EB，B→A机械能守恒，EA＝EB，B→C弹力对人做负功，机械能减小，EB>EC.答案：AC8.图5－3－27如图5－3－27所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB10/10\n的中点．以下说法中正确的选项是( )A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等解析：小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，支持力不做功，摩擦力做负功，所以A选项错误；从A到B的过程与从B到A的过程中，位移大小相等，方向相反，损失的机械能等于抑制摩擦力做的功，所以C选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程，位移相等，合外力也相等，方向与运动方向相反，所以合外力做负功，大小相等，所以减少的动能相等，因此，B选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程中，减少的动能相等，而动能的大小与质量成正比，与速度的平方成正比，所以D错误．答案：BC9.图5－3－28在2022北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运发动伊辛巴耶娃以5.05m的成绩第24次打破世界记录．图5－3－28为她在比赛中的几个画面，以下说法中正确的选项是( )A．运发动过最高点时的速度为零B．撑杆恢复形变时，弹性势能完全转化为动能C．运发动要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆D．运发动在上升过程中对杆先做正功后做负功解析：撑杆跳运发动过最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，选项A错误；当运发动到达最高点杆恢复形变时，弹性势能转化为运发动的重力势能和动能，选项B错误；运发动可以背跃式跃过横杆，其重心可能低于横杆，选项C错误；运发动在上升过程中对杆先做正功转化为杆的弹性势能后做负功，杆的弹性势能转化为运发动的重力势能和动能，选项D正确．答案：D10.图5－3－29(2022·泰州市联考)如图5－3－29所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，假设v0大小不同，那么小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．以下说法中正确的选项是( )10/10\nA．如果v0＝，那么小球能够上升的最大高度为B．如果v0＝，那么小球能够上升的最大高度为C．如果v0＝，那么小球能够上升的最大高度为D．如果v0＝，那么小球能够上升的最大高度为2R解析：根据机械能守恒定律，当速度为v0＝，由mgh＝mv解出h＝，A项正确，B项错误；当v0＝，小球正好运动到最高点，D项正确；当v0＝时小球运动到最高点以下，假设C项成立，说明小球此时向心力为0，这是不可能的．答案：AD11．图5－3－30如图5－3－30所示，AB为半径R＝0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3kg，车长L＝2.06m，车上外表距地面的高度h＝0.2m．现有一质量m＝1kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上外表间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．(g＝10m/s2)试求：(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；(3)从车开场运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小；(4)滑块落地点离车左端的水平距离．解析：(1)设滑块到达B端时速度为v，由动能定理，得mgR＝mv2由牛顿第二定律，得FN－mg＝m联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：FN＝3mg＝30N.(2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得对滑块有：－μmg＝ma1对小车有：μmg＝Ma2设经时间t两者到达共同速度，那么有：v＋a1t＝a2t解得t＝1s．由于1s＜1.5s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′＝a2t＝1m/s10/10\n因此，车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：x＝a2t2＋v′t′＝1m.(3)从车开场运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离Δx＝t－a2t2＝2m所以产生的内能：E＝μmgΔx＝6J.(4)对滑块由动能定理，得－μmg(L－Δx)＝mv″2－mv′2滑块脱离小车后，在竖直方向有：h＝gt″2所以，滑块落地点离车左端的水平距离：x′＝v″t″＝0.16m.答案：(1)30N (2)1m (3)6J (4)0.16m12．图5－3－3110只相同的小圆轮并排水平严密排列，圆心分别为O1、O2、O3、…、O10，已知O1O10＝3.6m，水平转轴通过圆心，圆轮绕轴顺时针转动的转速均为r/s.现将一根长0.8m、质量为2.0kg的匀质木板平放在这些轮子的左端，木板左端恰好与O1竖直对齐，如图5－3－31所示，木板与轮缘间的动摩擦因数为0.16，不计轴与轮间的摩擦，g取10m/s2.试求：(1)轮缘的线速度大小；(2)木板在轮子上水平移动的总时间；(3)轮在传送木板过程中所消耗的机械能．解析：(1)轮缘转动的线速度：v＝2πnr＝1.6m/s.(2)板运动的加速度：a＝μg＝0.16×10m/s2＝1.6m/s2板在轮上做匀加速运动的时间：t＝＝＝1s板在做匀加速运动中所发生的位移：x1＝at2＝×1.6×12m＝0.8m板在做匀速运动的全过程中其重心平动发生的位移为：x2＝3.6m－0.8m－0.4m＝2.4m因此，板运动的总时间为：t＝t1＋＝1s＋s＝2.5s.(3)由功能关系知：轮子在传送木板的过程中所消耗的机械能一局部转化成了木板的动能，另一局部因抑制摩擦力做功转化成了内能，即：木板获得的动能：Ek＝mv2，摩擦力做功产生的内能：Q＝Ff·Δx10/10\n加速过程木板与轮子间的相对位移：Δs＝v·t－·t，消耗的机械能：ΔE＝Ek＋Q联立上述四个方程解得：ΔE＝mv2＝2×1.62J＝5.12J.答案：(1)1.6m/s (2)2.5s (3)5.12J10/10
