“10＋7”提速专练卷(七)限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．若复数(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数2a＋2i在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 依题意得，＝＝(a＋1)＋(1－a)i是纯虚数，于是有a＋1＝0，得a＝－1,2a＋2i＝－2＋2i，故其对应的点的坐标是(－2,2)，因此复数2a＋2i在复平面内对应的点在第二象限．2．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18B．36C．54D．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.3．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－2，2)B．(－，)C.D.解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得－<k<.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( )6\nA.B.C.D.解析：选C 依题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1.因此，an＝2n－1，＝2，数列{an}是等比数列，数列{an}的奇数项的前n项和为＝.5．函数y＝的图像如图，则( )A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝C．k＝－，ω＝2，φ＝D．k＝－3，ω＝2，φ＝解析：选A 由图可得k＝，因为T>×2，所以>，即ω<，结合选项得ω＝.取函数的一个特殊点(0,1)，代入y＝2sin，可得φ＝.6．一个程序框图如图所示，输入a＝2，b＝8，则输出结果为( )6\nA．6B．4C．2D．0解析：选D 依题意得，当k＝1时，c＝|2－8|＝6，b＝2，a＝6；当k＝2时，c＝|6－2|＝4，b＝6，a＝4；当k＝3时，c＝|4－6|＝2，b＝4，a＝2；当k＝4时，c＝|2－4|＝2，b＝2，a＝2；当k＝5时，c＝|2－2|＝0，b＝2，a＝0；当k＝6时，c＝|0－2|＝2，b＝0，a＝2；当k＝7时，c＝|2－0|＝2，b＝2，a＝2；当k＝8时，c＝|2－2|＝0，b＝2，a＝0.结合题中的框图得知，最后输出的a的值为0.7．存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1，)B．(1，)C．(，＋∞)D．(，＋∞)解析：选C 依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，即该双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)．8．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为( )A.B.C.D．3解析：选B 设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵·＝|－|＝3，∴bccosA＝a＝3.又∵cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0<sinA≤，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝.故△ABC面积的最大值为.9．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为( )A.B.C．3D．6解析：选C 设该三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面正三角形的外接圆半径是6\n＝，依题意有2＋2＝()2，即＋＝1，则1＝＋＋≥3，当且仅当＝，即a＝，h＝2时取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积V＝×a×a×h＝a2h，且其最大值是×6×2＝3.10．已知函数f(x)满足对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且在区间[3,7]上是增函数，在区间[4,6]上的最大值为1007，最小值为－2，则2f(－6)＋f(－4)＝( )A．－2012B．－2011C．－2010D．2010解析：选A 令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，故f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)为奇函数．由函数f(x)在区间[3,7]上单调递增，可知在区间[4,6]上也是增函数，故最大值为f(6)＝1007，最小值为f(4)＝－2.而f(－6)＝－f(6)＝－1007，f(－4)＝－f(4)＝2，所以2f(－6)＋f(－4)＝2×(－1007)＋2＝－2012.二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．正方形的四个顶点都在双曲线C上，其一边经过C的焦点，则C的离心率为________．解析：不妨设正方形的边长为2，则有2c＝2,2a＝－1，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＝.答案：12．已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．解析：当x≤－1时，f(x)的值域为(－∞，1]；当－1<x<2时，f(x)的值域为[0,4)；当x≥2时，f(x)的值域为[4，＋∞)．而3∈[0,4)，所以f(x)＝x2＝3，所以x＝±，又因为－1<x<2，所以x＝.答案：13．(2022·盐城二模)已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e⊥(a－e)，则向量a与e的夹角大小为________．解析：由题意得e·(a－e)＝e·a－e2＝0，即e·a＝2×cos〈a，e〉＝1，所以cos〈a，e〉＝.所以a与e的夹角为.6\n答案：14．一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积为________cm2.解析：依题意得，该几何体是一个底面为等腰直角三角形(直角边长为6)、高为4的三棱锥，其表面积等于×6×6＋×6×5×2＋×6×＝48＋12.答案：48＋1215．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________．解析：注意到与直线x－y－2＝0平行且其间的距离为1的直线方程分别是x－y＋－2＝0、x－y－2－＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，需满足在两条直线x－y＋－2＝0、x－y－2－＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以<r<，即－1<r<＋1.答案：(－1，＋1)16．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)解析：设x1≤x2≤x3≤x4，根据已知条件得到x1＋x2＋x3＋x4＝8，且x2＋x3＝4，所以x1＋x4＝4，又因为＝1，所以(x1－2)2＋(x2－2)2＝2，又因为x1，x2，x3，x4是正整数，所以(x1－2)2＝(x2－2)2＝1，所以x1＝1，x2＝1，x3＝3，x4＝3.答案：1,1,3,317．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；6\n③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析：依题意得，将该数列中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数出现的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.对于①，注意到21＝<24<＝28，因此题中的数列中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．对于②③，设bn为②③中的数列的通项，则bn＝＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此④正确．答案：①③④6
