（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测（三）限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．在数列{an}中，a1＝2，当n为正奇数时，an＋1＝an＋2，当n为正偶数时，an＋1＝2an，则a6＝( )A．11 B．17C．22D．23解析：选C 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.2．各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差数列，则＝( )A.B.C.D.解析：选B 依题意，有a3＝a1＋a2，设公比为q，则有q2－q－1＝0，所以q＝(舍去负值)．＝＝＝＝.3．在△ABC中，∠B＝，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是( )A.B.C.D.解析：选D 由三边长a，b，c成等差数列可得2b＝a＋c，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos60°＝(a＋c)2－3ac＝4b2－18，解得b＝.4．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A，B是图像上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则·的值为( )A.πB.π2＋1C.π2－1D.π2－17\n解析：选C 设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T.由图知＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，将点代入y＝sin(2x＋φ)得sin＝0，∵0<φ<π，∴φ＝，即y＝sin.∴B.又A，∴·＝－1.5．公差不为0的等差数列{an}中，3a2010－a＋3a2014＝0，数列{bn}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2011b2013＝( )A．4B．8C．16D．36解析：选D ∵3a2010－a＋3a2014＝0，∴6a2012－a＝0，即a2012(a2012－6)＝0，∵数列{bn}是等比数列，∴a2012＝b2012≠0，∴b2012＝a2012＝6，∴b2011b2013＝b＝62＝36.6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )A．4B．5C．6D．7解析：选B ∵a3·a11＝16，∴a＝16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )A．2n－1B.n－1C.n－1D.解析：选B ∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴3an＝2an＋1，∴＝.又∵S1＝2a2，∴a2＝，∴＝，7\n∴{an}从第二项起是以为公比的等比数列，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋＝n－1.8．在等差数列{an}中，首项a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，则n的最小值为( )A．60B．62C．70D．72解析：选B 若Sn≤an(n≥2)，则Sn－1≤0(n≥2)，即Sn－1＝(n－1)×120－×4＝－2n2＋126n－124≤0，即n2－63n＋62≥0，即(n－1)(n－62)≥0，解得n≥62.9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2011)＋f(2013)＝( )A．1B．2C．－1D．－2解析：选A 由已知得，f(2011)＋f(2013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.10．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A．1006B．2012C．503D．0解析：选A ∵an＝ncos，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.又∵2012＝4×503，∴a1＋a2＋…＋a2012＝2×503＝1006.二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)11．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________.解析：设{an}的公差为d，7\n由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又因为a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1.答案：112．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析：依题意得a－c＝(3－k，－6)，3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.答案：513．(2022·温州模拟)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．解析：S5S6＋15＝0⇒(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即30a＋135a1d＋150d2＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，由于a1，d为实数，故(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，即d2≥8，故d≥2或d≤－2.答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)14．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________．解析：由题意知an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，∴数列{an}是等差数列，公差d＝1，an＝n，当n≥2时，f(n)＝＋＋＋…＋，∵f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－>0，∴f(2)<f(3)<…，∴[f(n)]min＝f(2)＝＋＝.答案：三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)15．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.7\n(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.16．设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.解：(1)令f′(x)＝＋cosx＝0，所以cosx＝－，解得x＝2kπ±π(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－π(n∈N*)．(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sinSn＝sin.因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin.当n＝3m－2(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝－；当n＝3m－1(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝；当n＝3m(m∈N*)时，7\nsinSn＝－sin2mπ＝0.综上所述，sinSn＝17．已知向量m＝与向量n＝共线，其中A，B，C是△ABC的三个内角．(1)求角B的大小；(2)求2sin2A＋cos(C－A)的取值范围．解：(1)因为向量m＝与向量n＝共线，所以coscos＝，即cos＝±，又因为0<B<π，所以cos＝，所以＝，即B＝.(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A，所以2sin2A＋cos(C－A)＝2sin2A＋cos＝1－cos2A＋cos2A＋sin2A＝1＋sin，因为0<A<，所以－<2A－<，所以sin∈，所以1＋sin∈，故2sin2A＋cos(C－A)的取值范围是.18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)依题意得解得7\n所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.(2)＝3n－1，bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，Tn＝3＋5·3＋7·32＋…＋(2n＋1)·3n－1，3Tn＝3·3＋5·32＋7·33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，两式相减得－2Tn＝3＋2·3＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2·－(2n＋1)3n＝－2n·3n，所以Tn＝n·3n.7
