（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测（四）限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．(2022·浙江五校联考)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β.给出下面四个命题：①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥α，n⊥β，α⊥β⇒m∥n；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中为正确命题的是( )A．①④ B．②④C．②③D．①③解析：选A 由线面垂直的性质定理知①是正确的；两平面平行，则分别在两平面内的两条直线没有公共点，这两条直线可能平行也可能异面，所以②错误；由n⊥β，α⊥β知，n∥α或n⊂α，当n∥α时，又m∥α，则m与n可能相交、异面、平行；当n⊂α时，又m∥α，则m与n可能异面或平行，所以③错误；由m∥n，m⊥α知n⊥α，又α∥β，由性质定理知n⊥β，所以④正确．故正确命题的序号是①④.2．(2022·淄博模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为4，侧面积为96π，则该圆台较小底面的半径为( )A．7B．6C．5D．4解析：选B 设圆台两底面半径分别为r、R(r<R)．由题意得：2πR＝3×2πr，即R＝3r，则有π(r＋3r)×4＝96π，解得r＝6.3．(2022·新课标全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6B．9C．12D．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.9\n4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π解析：选B 设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱，记上、下底面的中心分别是O1、O，易知球心是线段O1O的中点，于是R2＝2＋2＝，因此所求球的表面积是4πR2＝4π×＝.5．已知某个几何体的三视图如图(正(主)视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A．288＋36πB．60πC．288＋72πD．288＋18π解析：选A 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6＋×π×32×8＝288＋36π.6．函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0且|φ|<在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为( )A.B.C.D.解析：选A 函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原函数式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数y＝sin(ωx＋φ9\n)的图像过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝.7．若一个空间几何体的三视图是三个边长为的正方形，则以该空间几何体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.B.C.D.解析：选B 由题意可知，该空间几何体为正方体，以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个相同的正四棱锥组成的几何体，如图，该四棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，故所求多面体的体积V＝2××××＝.8．(2022·荆州模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM＝BN.以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．其中有可能成立的结论的个数为( )A．4B．3C．2D．1解析：选A 当M、N分别是AB1、BC1的中点时，连接B1C、AC，易知MN∥AC，又AA1⊥平面ABCD，因此有AA1⊥AC，AA1⊥MN；又AC∥A1C1，因此MN∥A1C1，MN∥平面A1B1C1D1，于是①②③都有可能成立．当点M、N分别与点A、B重合，即直线MN是直线AB时，易知此时直线MN与直线A1C1是异面直线，因此④也有可能成立．综上所述，可能成立的结论的个数为4.9．(2022·合肥模拟)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )A．2(1＋)cm2B．4(1＋)cm2C．2(2＋)cm2D．2(＋)cm29\n解析：选C 该几何体的直观图如图所示，S表面积＝2(S△ABC＋S△ACD)＝2×＝2(＋2)cm2.10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BD，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积等于( )A．3πB．6πC.D．2π解析：选A 在Rt△BCD中，BD＝＝；在Rt△ABD中，AD＝＝.如图，折起的几何体为一个三棱锥A－BCD，因为AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.取AD的中点O，连接OB、OC.在Rt△ABD中，OA＝OB＝OD＝AD＝；在Rt△ACD中，OA＝OC＝OD＝AD＝.所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为，故其表面积为S＝4πr2＝4π×2＝3π.二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)11．(2022·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA1＝4，底面直角梯形的两底边AB＝5，CD＝2，梯形的高BC＝4，故该几何体的体积V＝4×＝56.答案：569\n12．(2022·温州模拟)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为__________cm2.解析：依题意可知，该几何体是一个以棱长为1的正方体的上底面、下底面分别为底面放置了一个正四棱锥的组合体，其中这两个正四棱锥的高均为1，底面边长为1，因此该几何体的表面积等于4×12＋8××1×＝(4＋2)cm2.答案：4＋213．若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是________．解析：当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，易知函数f(x)在(－∞，0]上的极大值点是x＝－1，且f(－1)＝2，故只要在(0,2]上，eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln2.答案：14．(2022·温州八校联考)如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′－FED的体积有最大值；④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确的命题的序号是________．解析：对于命题①，由题意知，A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积取最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确．答案：①②③三、解答题(共4个小题，每小题15分，共60分)9\n15．如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，AC∩BD＝O，侧棱AA1⊥BD，点F为DC1的中点．(1)证明：OF∥平面BCC1B1；(2)证明：平面DBC1⊥平面ACC1A1.证明：(1)∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD＝O，∴O是BD的中点．又点F为DC1的中点，∴在△DBC1中，OF∥BC1，∵OF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OF∥平面BCC1B1.(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又BD⊥AA1，AA1∩AC＝A，且AA1，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面DBC1，∴平面DBC1⊥平面ACC1A1.16．已知数列{an}、{bn}，对于n∈N*，点Pn(n，an)都在经过A(－1，－3)与B(1,1)的直线l上；数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝3，且当n≥2时满足Sn－1是bn与－3的等差中项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)由题知，直线l的斜率为k＝＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．由题知bn＝2Sn－1＋3(n≥2)，①bn＋1＝2Sn＋3，②②－①得：bn＋1－bn＝2(Sn－Sn－1)＝2bn，即bn＋1＝3bn(n≥2)．③∵b2＝2b1＋3＝3b1也满足③式，即bn＋1＝3bn(n∈N*)，∴数列{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，故bn＝3n(n∈N*)．(2)由(1)知＝，记cn＝.∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，④9\n∴3Tn＝1＋＋＋＋…＋，⑤⑤－④得：2Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝1＋－＝2－.所以Tn＝1－.17．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E，F分别为棱AC，AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积．解：(1)证明：在题图甲中，∵AB＝BD且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，即AB⊥BD.在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD.∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B，∴DC⊥平面ABC.(2)∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF∥CD，又由(1)知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴VA－BFE＝VF－AEB＝S△AEB·FE.在图甲中，∵∠ADC＝105°，∴∠BDC＝60°，∠DBC＝30°.由CD＝a得AB＝BD＝2a，BC＝a，EF＝CD＝a，9\n∴S△ABC＝AB·BC＝·2a·a＝a2，∴S△AEB＝a2.∴VA－BFE＝·a2·a＝a3.18．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．解：(1)几何体的直观图为三棱柱，如图所示．∵BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝×1××＝.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.(3)DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.9\n∵FD∥B1C1，FD⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1.∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.又∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.9
