高考中数列和不等式证明的交叉数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。例1设和分别是等差数列和等比数列，且，，若，试比较和的大小。分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数把他们组合在一起。设的公差为，的公比为。显然，因为，所以有，，即。。又因为，所以。若时，==。因为，，所以有：。若时，，，所以也有：。综上所述，当，且时，。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。例2已知递增的等比数列前三项之积为，且这三项分别减去，，后成等差数列，求证：。分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，是等比数列，所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由可得，，所以。再设等比数列的公比为。则根据条件可得：，解得，或（舍去）。所以，因此，-5-\n。令=----------①，则--------------②，由①-②得，，即，=例3在某两个正数，之间，若插入一个数，使，，成等差数列；若另插入两个数，，使，，，成等比数列，求证：分析：不等式左边有字母，右边有不同字母、，要比较两边的大小，必须寻找、、三者之间的联系，利用数列的关系可得：，，。为计算方便，我们再令，，则，，，那么，==，得。例4设，且，求证：对一切自然数，都有。分析：因为，所以，由已知，所以有，，即。又因为，则有，，所以。在上式中取，得个不等式，把它们相加得，，于是，，因此，。在此题的证明过程中，我们巧妙的利用了数列求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。例5设，给定数列，其中，且满足。求证：且。-5-\n分析：这是1984年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列，求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。因为，又因为，所以有，，则。而，则有，，所以，那么，因此，且。例6求证：。分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列。我们来构造一个数列。令，则==。所以，，从而有，。因此原不等式得证。例7设是正项的等比数列，是其前项的和.证明：。分析：这是在数列情景下的不等式证明，所以要交叉使用数列的性质和不等式的证明技巧。要证不等式等价于，因为，所以。由等比数列的定义可得：。再用等比定理得：，因此有：。例8数列和都是正项数列，对任意的自然数都有，，成等差数列，，，成等比数列。-5-\n(1)问：是不是等差数列？为什么？(2)求证：对任意的自然数和（），≥。分析：对于第(1)题，我们不难证明它一定是等差数列。问题(2)的证明方法很多，我们可以直接利用等差数列的通项公式，通过作差比较来完成。但是若我们仔细分析题意，观察，，的特点，我们不难发现它们三者之间有等量关系：，所以≥。此题充分体现了数列和不等式知识的交叉运用。例9数列中，前项之和为，其中和为常数，且，，。(1)求数列的通项公式；并证明。(2)若，试判断数列中任意两项的大小。分析：此题的已知条件，前项之和为告诉我们，数列是一个等差数列，要证明成立，只要证明该数列是一个递增的数列，且即可。(1)由可知，，，所以，即数列是一个单调递增的数列，那么。(2)由(1)可知，数列各项都为正。则=≤==，所以.例10已知数列中，对一切自然数，都有且。求证：(1)；(2)若表示数列的前项之和，则。分析：从题目的结构可以看出，条件-5-\n是解决问题的关键，必须从中找出和的关系。(1)由已知，可得，又因为，所以有，,因此，即。(2)由结论(1)可知，，即，于是有，，即。从上面的一系列问题中，我们可以看出，数列和不等式证明是紧密相连互相渗透的，在复习中我们一定要注意它们的联系，在知识的交叉点上思考分析，达到知识的融会贯通，培养分析问题和解决问题的能力。-5-
