第2讲 概率、随机变量及其分布列高考定位 1.随机事件的概率、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A.B.C.D.解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝或＝.故选A.答案 A2.(多选题)(2020·新高考山东卷)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi＞0(i＝1，2，…，n)，pi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－pilog2pi.( )A.若n＝1，则H(X)＝0B.若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi＝(i＝1，2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大D.若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m)，则H(X)≤H(Y)解析 对于A，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，故A正确；对于B，当n＝2时，有p1＋p2＝1，此时，若p1＝或都有H(X)＝－，故B错误；对于C，当pi＝\n(i＝1，2，…，n)时，H(X)＝－log2＝－n×log2＝log2n，显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，法一 当n＝2m时，H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m)＝－，H(Y)＝－，由于p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2(p·p)＜log2＝log2(p1＋p2m)p1＋p2m＝(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)，同理可证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1＜(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)，…，pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＜(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)，所以H(X)＞H(Y)，故D错误.法二(特值法) 令m＝1，则n＝2，p1＝，p2＝.P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log21＝0，H(X)＝－＞0，∴H(X)＞H(Y)，故D错误.答案 AC3.(2020·浙江卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.解析 ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝＋×＝.随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.答案 14.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空\n，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.解 (1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.考点整合1.概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式.P(A)＝＝.(2)条件概率.在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝＝.(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A).2.独立重复试验与二项分布\n如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).3.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.(3)数学期望、方差的性质.①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).热点一 古典概型【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.B.C.D.(2)(2020·湖北四地七校联考)根据党中央关于“精准脱贫”\n的要求，某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为________.解析 (1)在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20.故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝.(2)4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有24＝16种情况.只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的情况有16－2＝14种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率p＝＝.答案 (1)A (2)探究提高 求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.【训练1】(1)(2020·重庆质检)2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3(2)(2020·济南一模)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图(1)：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方.按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15的概率是( )A.B.C.D.解析 (1)从5人中任选2人定点支援湖北某医院的基本事件总数n＝C＝10，恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数m＝C·C\n＝6，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为P＝＝＝0.6.(2)记“将1到9这九个数字，填在题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15”为事件A，则题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数的不同方法共有A·A＝576(种).而事件A所包含的基本事件如图，共有8种.276951438 294753618 492357816 438951276618753294 672159\n834 834159672 816357492所以P(A)＝＝.答案 (1)C (2)C热点二 条件概率及相互独立事件的概率【例2】(1)(2020·广州调研)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n.已知这三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝( )A.B.C.D.(2)(2020·辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________.解析 (1)设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社团分别为事件A，B，C，则P(A)＝m，P(B)＝，P(C)＝n.依题意知P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝m××n＝，所以mn＝.1－P()＝1－P()P()P()＝1－(1－m)××(1－n)＝，所以(1－m)(1－n)＝.于是(1－m)(1－n)＝1－(m＋n)＋mn＝1－(m＋n)＋＝，所以m＋n＝.\n(2)记事件A为“一天的空气质量为优良”，事件B为“随后一天的空气质量也为优良”，则P(AB)＝，P(A)＝，根据条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝.答案 (1)C (2)探究提高 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.2.(1)条件概率的计算，要分清是在谁的条件下的概率，古典概型的条件概率可缩减样本空间优化计算；(2)对于独立重复试验，要牢记公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义.【训练2】(1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后也出现红灯的概率为( )A.B.C.D.(2)(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________.解析 (1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得P(A)＝，P(AB)＝.由条件概率的定义可得P(B|A)＝＝.故选C.(2)甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”，P()＝×＝，所以P(A)＝1－＝.答案 (1)C (2) 热点三 随机变量的分布列、均值与方差角度1 超几何分布\n【例3】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数91263(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.解 (1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C＝45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C＋C＋C＝10(种)，所以p＝＝.(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X的可能取值为0，1，2.则P(X＝k)＝(k＝0，1，2).∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.则随机变量X的分布列为X012P故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.探究提高 1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够判定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式P(X＝k)＝(k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*).\n【训练3】(2020·长沙调研)某市“好运来”超市为了回馈新老顾客，决定在2021年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.解 (1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，所以P(ξ＝3)＝＝＝.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6；η的所有可能取值为50，30，10，0.P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，P(η＝0)＝1－－－＝.所以η的分布列为η5030100P所以E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.角度2 二项分布及其均值与方差【例4】(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.\n(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，故X～B，从而P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.探究提高 1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列.2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得.【训练4】(2020·百校大联考)某省新课改后，某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.\n(1)根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01)；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p(0＜p＜1)，若2020届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007.解 (1)由条形统计图，估计本届学生本科上线率P＝＝60%.(2)①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由题可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则P(A)＝C×0.68×(1－0.6)2＝C×0.364×0.16＝45×0.0168×0.16≈0.12.②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得X～B(40000，0.6)，Y～B(36000，p).因为2020届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，所以E(Y)≥E(X)，即36000p≥40000×0.6，解得p≥，又0＜p＜1，故p的取值范围为.热点四 概率与统计的综合问题【例5】(2020·九师联盟联考)为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.\n文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(1)求a，b，c的值；(2)填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由题意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，而a，b，c构成以2为公比的等比数列，所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.则b＝0.010，c＝0.020.(2)获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10＝20.因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.故完成2×2列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400由表中数据可得\nK2的观测值k＝≈1.316＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005×10＝0.05，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，且X～B(2，0.05).则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2).故X的分布列为X012P故X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(X)＝2×0.05＝0.1).探究提高 1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.【训练5】(2020·石家庄模拟)新高考，取消文理科，实行“3＋3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人(把年龄在[15，45)称为中青年，年龄在[45，75)称为中老年)，并把调查结果制成下表：年龄(岁)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；(2)请根据上表完成下面2×2列联表，是否有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联？了解新高考不了解新高考总计\n中青年中老年总计附：K2＝.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828(3)若从年龄在[55，65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X，求X的分布列以及E(X).解 (1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率p＝＝，中老年对新高考了解的概率p＝＝.(2)2×2列联表如下所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830中老年81220总计302050则K2的观测值k＝≈5.556＞3.841，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.(3)年龄在[55，65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝；P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.\nA级 巩固提升一、选择题1.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名解析 由题意，第二天新增订单数为500＋1600－1200＝900，设需要志愿者x名，则≥0.95，x≥17.1，故需要志愿者18名.答案 B2.(2020·新高考山东、海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%解析 记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.答案 C3.(2019·浙江卷)设0<a<1，随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0，1)内增大时( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大\n解析 由题意知E(X)＝0×＋a×＋1×＝，因此，D(X)＝×＋×＋×＝[(－a－1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]＝(6a2－6a＋6)＝.当0<a<时，D(X)单调递减；当<a<1时，D(X)单调递增.故当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大.答案 D4.(多选题)(2020·临沂质检)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是( )A.答对0题和答对3题的概率相同，都为B.答对1题的概率为C.答对2题的概率为D.合格的概率为解析 答对0题和答对3题的概率都为＝＝，所以A错误；答对1题的概率为＝＝，所以B错误；答对2题的概率为＝＝，所以C正确；至少答对2题的概率为＋＝，所以D正确.故选CD.答案 CD5.(多选题)(2020·海南模拟)甲、乙、丙3人分别在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若甲必选物理，则下列说法正确的是( )A.甲、乙、丙3人至少有1人选化学与全选化学是对立事件B.甲的不同选法种数为15C.已知乙选了物理，则乙选技术的概率是\nD.乙、丙2人都选物理的概率是解析 甲、乙、丙3人至少有1人选化学与全不选化学是对立事件，A错误；由于甲必选物理，因此甲只需从剩下的6门课中选2门即可，有C＝15种选法，B正确；由于乙选了物理，因此乙选技术的概率是＝，C错误；乙、丙2人各自选物理的概率均为＝，所以乙、丙2人都选物理的概率是×＝，D正确.故选BD.答案 BD二、填空题6.(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.解析 根据题意可得基本事件总数为6×6＝36(个).点数和为5的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为p＝＝.答案 7.(2020·东北三校一联)近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新能源汽车不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市场上销售的某款新能源汽车，其车载动力蓄电池充放电循环达到2000次的概率为85%，充放电循环达到2500次的概率为35%.若某用户的该款新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的汽车能够充电2500次的概率为________.解析 设事件A：充放电循环达到2000次，事件B：充放电循环达到2500次，由题意可知P(A)＝85%，P(AB)＝35%，则P(B|A)＝＝＝.答案 8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，\n所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.答案 0.18三、解答题9.(2020·北京卷)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)解 (1)设该校男生支持方案一为事件A，该校女生支持方案一为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.(2)设这3人中恰有2人支持方案一为事件C，则事件C包含2名男生支持方案一和1名男生1名女生支持方案一两种情况，所以P(C)＝C××＋C×××＝.(3)p0＝＝，设该校总人数为n，由题表知：男、女生支持方案二的概率分别为＝，＝，∴一年级支持方案二的约为500×＋300×＝404，∴除一年级外支持方案二的概率为p1＝＝<，∴p0＞p1.10.(2020·江南十校联考)某省食品药品监管局对16个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段[0，7)[7，8)[8，9)[9，10]\n食堂个数1384(1)现从16个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(2)以这16个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.解 (1)设Ai(i＝0，1，2，3)表示“所抽取的3个大学食堂中有i个大学食堂评分不低于9分”，“至多有1个大学食堂评分不低于9分”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.(2)由表格数据知，从这16个大学食堂中任选1个，评分不低于9分的概率为＝.由题意知X～B，P(X＝i)＝C，i＝0，1，2，3.所以X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝3×＝.B级 能力突破11.为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2020年10月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况.从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图.已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在[10，12]，现在从课余使用手机总时间在[10，12]的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为( )A.B.C.D.解析 ∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在[10，12]，课余使用手机总时间在[10，12]的学生共有50×0.08×2＝8(名)，∴从课余使用手机总时间在[10，12]的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝C＝56，至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝C\n＋CC＝16，则至少抽到2名女生的概率为p＝＝＝.答案 C12.(2020·衡水中学检测)2020年“双十一”当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意总计对商品好评140对商品不满意10总计200(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X.①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差.附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意总计对商品好评14040180对商品不满意101020总计15050200则K2的观测值k＝≈7.407.由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，\n由题意得X～B，P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3，故X的分布列为X0123P②E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.
