课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件建议用时：25分钟一、选择题1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定B [命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．]2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1D [“－1＜x＜1”的否定为“x≥1或x≤－1”，“x2＜1”的否定为“x2≥1”，因此逆否命题为“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，故选D．]3．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0B．1C．2D．4C [当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．]4．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [由a2＞a得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0.∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A．]5．下列说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题D．“tanx＝1”是“x＝”的充分不必要条件\nC [对A项，由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A错误；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B错误；因为由x＝y能推出sinx＝siny，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝，所以“tanx＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即D错误．]6．已知甲：sinα≠；乙：α≠120°，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [问题等价于判断“α＝120°”是“sinα＝”的什么条件．由α＝120°⇒sinα＝，但sinα＝α＝120°.知“α＝120°是sinα＝”的充分不必要条件，从而甲是乙的充分不必要条件，故选A．]7．若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1,1]D [∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D．]8．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3A [a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选A．]二、填空题9．原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d，”则它的逆否命题是________．已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d [“a＋c＝b＋d”的否定为“a＋c≠b＋d”，“a＝b，c＝d”的否定为“a≠b或c≠d”，因此逆否命题为“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”．]10．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．\n充要 [由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的充要条件．]11．给出下列说法：①“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB＞sinC是B＞C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．以上说法正确的是________．(填序号)①②④ [对于①，“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是“若sinx＝cosy，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB＞sinC⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．]12．若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．3 [解不等式x2－x－6＞0得x＜－2或x＞3，由题意知{x|x＞a}{x|x＜－2或x＞3}，则a≥3.因此a的最小值为3.]1．“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [当α＝β时，sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1成立，但sin2α＋cos2β＝1时，sin2α＝1－cos2β＝sin2β，此时α＝β不一定成立，因此“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故选A．]2．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4 [由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根，\n当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.]
