课后限时集训(十四)(时间：40分钟)1．下列说法正确的是( )A．如果物体受到的合外力为零，则其机械能一定守恒B．如果物体受到的合外力做的功为零，则其机械能一定守恒C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒D．做匀加速运动的物体，其机械能不守恒C [物体受到的合外力为零，机械能不一定守恒，如在竖直方向上物体做匀速直线运动，其机械能不守恒，A错误；物体受到的合外力做的功为零，说明动能不变，机械能不一定守恒，B错误；物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，C正确；做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动，D错误。]2.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )A．小球的机械能守恒B．小球的机械能减少C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒BD [小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]3．从地面竖直上抛两个质量不同、初动能相同的小球，不计空气阻力，以地面为零势能面，当两小球上升到同一高度时，则( )A．它们具有的重力势能相等B．质量小的小球动能一定小C．它们具有的机械能相等D．质量大的小球机械能一定大-7-\nC [在上升到相同高度时，由于两小球质量不同，由重力势能Ep＝mgh可知重力势能不同，故A错误；在小球上升过程中，根据机械能守恒定律，有Ek＝E－mgh，其中E为两小球相同的初始动能。在上升到相同高度时，h相同，质量小的小球动能Ek大，故B错误；在上升过程中，只有重力做功，两小球机械能守恒，由于初动能相同，则它们具有的机械能相等，故C正确，D错误。]4.如图所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10m/s2)( )A．10JB．15JC．20JD．25JA [由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝m/s，落地时，tan60°＝可得：v0＝＝m/s，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10J，故A正确。]5.(多选)如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道AO对接半径为2R的光滑圆弧轨道OB于O点。可视为质点的物体从上面圆弧的某点C由静止下滑(C点未标出)，物体恰能从O点平抛出去。则( )A．∠CO1O＝60°B．∠CO1O＝90°C．落地点距O2的距离为2RD．落地点距O2的距离为2RBC [要使物体恰能从O点平抛出去，在O点有mg＝m，解得物体从O点平抛出去的最小速度为v＝。设∠CO1O＝θ，由机械能守恒定律可知，mgR(1－cosθ)＝mv2，解得θ＝90°，故选项A错误，B正确；由平抛运动规律可得，x＝vt,2R＝gt2，解得落地点距O2为2R，选项C正确，D错误。]6.有一条长为2m-7-\n的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条沿斜面向上滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10m/s2)( )A．2.5m/sB．m/sC．m/sD．m/sB [链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sinθ－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sinθ)链条全部滑出后，动能为E′k＝×2mv2重力势能为E′p＝－2mg由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p即－mgL(1＋sinθ)＝mv2－mgL解得v＝＝m/s，故B正确，A、C、D错误。]7.(2020·山东青岛高三检测)如图所示，四分之一圆弧AB和半圆弧BC组成的光滑轨道固定在竖直平面内，A、C两端点等高，直径BC竖直，圆弧AB的半径为R，圆弧BC的半径为。一质量为m的小球从A点上方的D点由静止释放，恰好沿A点切线方向进入并沿轨道运动，小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。(1)要使小球能运动到C点，D、A两点间的高度差h至少为多大？(2)改变h，小球通过C点后落到圆弧AB上的最小动能为多少？-7-\n[解析] (1)在C点，对小球，根据牛顿第二定律得mg＝m，解得小球在C点的最小速度为vC＝，由D到C的过程中，对小球，由机械能守恒定律有mgh＝mv，解得h＝。(2)设小球经过C点的速度为v，落到圆弧AB上时，水平位移大小为x，下落高度为y，经过的时间为t，到达圆弧AB上的动能为Ek，由平抛运动的规律有x＝vt，y＝gt2小球在从C点抛出到落到圆弧AB上的过程中，由机械能守恒定律得mgy＋mv2＝Ek又x2＋y2＝R2，联立解得Ek＝mg，根据数学知识可知当＝3y，即y＝R时，Ek有最小值，解得最小动能为Ekmin＝mgR。[答案] (1) (2)mgR8.(2020·哈尔滨三中5月模拟)有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，两个质量相等的滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B可看作质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )A．B．C．D．B [将A、B的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，两滑块沿绳方向的速度大小相等，有vBcos60°＝vAcos30°，因vB＝v，所以vA＝v，该过程中A、B组成的系统机械能守恒有mgh＝mv＋mv，联立解得B下落的高度为h＝，根据几何关系得连接A、B的绳长为l＝＝2h＝，故选项B正确，A、C、D错误。]9.如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A-7-\n点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，则下列说法正确的是( )A．a球下滑过程中机械能保持不变B．b球下滑过程中机械能保持不变C．a、b球滑到水平轨道上时速度大小为D．从释放a、b球到a、b球滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为D [a、b球和轻杆组成的系统机械能守恒，故A、B错误；对系统由机械能守恒定律得mgR＋mg·2R＝×2mv2，解得a、b球滑到水平轨道上时速度大小为v＝，故C错误；从释放a、b球到a、b球滑到水平轨道上，对a球由动能定理有W＋mgR＝mv2，解得轻杆对a球做的功为W＝，故D正确。]10.(2020·安徽巢湖市质检)如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内。一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C。已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g。求：(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；(3)物块在A点时弹簧的弹性势能。[解析] (1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝mx＝vCt,2R＝gt2解得x＝2R即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R。(2)物块由B到C过程中机械能守恒，-7-\n则有mv＝2mgR＋mv设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力为FN，则有：FN－mg＝m，解得FN＝6mg由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小F′N＝FN＝6mg。(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为Ep＝2mgR＋mv，解得Ep＝mgR。[答案] (1)2R (2)6mg (3)mgR11．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10m/s2。求：(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。[解析] (1)当a滑到与圆心O等高的P点时，a的速度v沿圆环切线竖直向下，b的速度为零，由机械能守恒可得：magR＝mav2解得v＝在P点对小球a，由牛顿第二定律可得：F＝＝2mag＝2N。(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，则知va＝vbcosθ，由几何关系可得：-7-\ncosθ＝＝0.8球a下降的高度h＝Rcosθa、b及杆组成的系统机械能守恒：magh＝mav＋mbv－mav2对滑块b，由动能定理得：W＝mbv＝0.1944J。[答案] (1)2N (2)0.1944J12.(多选)(2020·浙江宁波调研)某娱乐项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关。现在将这个娱乐项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以速率v竖直上抛一小球，小球恰好击中触发器。若参与者仍在刚才的抛出点，沿A、B、C、D四个不同的光滑轨道分别以速率v抛出小球，如图所示。则小球能够击中触发器的可能是( )A B C DCD [竖直上抛时小球恰好击中触发器，则由－mgh＝0－mv2，h＝2R得v＝2。沿图A中轨道以速率v抛出小球，小球沿光滑圆弧内表面做圆周运动，到达最高点的速率应大于或等于，所以小球不能到达圆弧最高点，即不能击中触发器。沿图B中轨道以速率v抛出小球，小球沿光滑斜面上滑一段后做斜抛运动，最高点具有水平方向的速度，所以也不能击中触发器。图C及图D中小球在轨道最高点速度均可以为零，由机械能守恒定律可知小球能够击中触发器。]-7-
