【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第6节立体几何中的向量方法（Ⅰ）-证明平行与垂直课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.[解析] ＝(1，－1,4)，＝(a－2，－1，b)，存在实数λ使得＝λ，(1，－1,4)＝λ(a－2，－1，b)得a＝3，b＝4.[答案] 3 42．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系为________．[解析] 由u＝－2(1,0,2)＝－2a知a∥u.[答案] 垂直3．已知平面α的法向量为n＝(1,2，－2)，平面β的法向量为m＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则实数k的值为________．[解析] 由α⊥β得m·n＝－2－8－2k＝0，则k＝－5.[答案] －54．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．[解析] ＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n·＝0，n·＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.[答案] 平行5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝，且BP⊥平面ABC，则实数y＝________.[解析] 由·＝8－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，知BP⊥AB，且BP⊥BC，7\n∴＋5y＋6＝0且＋y－12＝0，解得y＝－.[答案] －6．已知{i，j，k}是单位正交基底，a＝i＋2j＋3k，b＝2i＋j＋xk，则a⊥b时，|b|＝________.[解析] 当a⊥b时，a·b＝0，又a＝(1,2,3)，b＝(2,1，x)∴a·b＝2＋2＋3x＝0，∴x＝－，|b|＝＝.[答案] 7．(2014·济南质检)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．[解析] ∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．[答案] ①②③8．如图7610所示，正方体的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．图76107\n[解析] 分别以C1B1、C1D1、C1C所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵A1M＝AN＝a，∴M，N，∴＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥，所以MN∥平面BB1C1C.[答案] 平行二、解答题9．(2014·盐城模拟)正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4，D为CC1的中点．图7611求证：AB1⊥平面A1BD.[证明] 取BC中点O，连结AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(－2,2,0)，A1(0,4,2)，A(0,0,2)，B1(2,4,0)．∴＝(2,4，－2)，＝(－4,2,0)，＝(－2,4,2)，∵·＝－8＋8＋0＝0，7\n·＝－4＋16－12＝0.∴⊥，⊥.∴AB1⊥平面A1BD.10．(2014·南师附中模拟)四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，CD＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝4.图7612(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)设点Q为线段PB上一点，＝λ，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求λ的值．[解] 如图，建立直角坐标系，则B(4,0,0)，C(2,2，0)，D(0，2，0)，P(0,0,4)．(1)证明：因为＝(－4，2，0)，＝(2,2，0)，·＝0，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)＝(4,0，－4)，＝λ＝(4λ，0，－4λ)，＝＋＝(－2，－2，4)＋(4λ，0，－4λ)＝(4λ－2，－2，－4λ＋4)．由(1)知是平面PAC的法向量，|cos〈·〉|等于QC与平面PAC所成角的正弦值，即|cos〈·〉|＝＝，即＝1，解出λ＝.7\n[B级 能力提升练]一、填空题1．如图7613，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．图7613[解析] 以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.[答案] 12．如图7614所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为________．图7614[解析] ∵M在EF上，设ME＝x.∴M，∵A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，＝.7\n设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，由得a＝b＝c.故可取一个法向量n＝(1,1，)．∵n·＝0，∴x＝1，∴M.[答案] 二、解答题3．(2014·南师附中模拟)如图7615，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC的中点．图7615(1)点M为AA1上一点，B1M⊥C1E，求AM的长；(2)求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．[解] (1)如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，B1(2,0,2)，E(1,1,0)，C1(0,2,2)．设M(0,0，z)，则＝(－2，0，z－2)，＝(1，－1，－2)，因为⊥，所以·＝－2－2(z－2)＝0，解得z＝1，所以AM＝1.(2)因为AC⊥平面AA1B1B，所以为平面AA1B1B的一个法向量，＝(0,2,0)，又＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面AEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，7\nn·＝x＋y＝0，n·＝2y＋2z＝0.设y＝1，则x＝－1，z＝－1，即n＝(－1,1，－1)．所以cos〈，n〉＝＝＝.7
