第十三章统计与统计案例第二讲 变量间的相关关系与统计案例练好题·考点自测1.[2021福建模拟]下列四个命题说法正确的是( )①在回归分析中,R2可以用来刻画回归效果,R2的值越大,模型的拟合效果越好;②在独立性检验中,随机变量K2的值越大,说明两个分类变量有关系的可能性越大;③在回归方程y＾=0.2x+12中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量y＾平均增加1个单位;④两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于1.A.①④B.②④C.①②D.②③2.[2020全国卷Ⅰ,5,5分]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如图13-2-1所示的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx3.[2017山东,5,5分][理]为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y＾=b^x+a＾,已知∑i=110xi=225,∑i=110yi=1600,b^=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )A.160B.163C.166D.1704.[2021四省八校联考]具有线性相关关系的两个变量x,y的取值如表,x12345y5tm1012\n其回归直线y^=b^x+a^经过点(3,8)的一个充分不必要条件是( )A.t+m=13B.t=m=6C.t=m=7D.t=6,m=75.[2021湖南模拟]通过随机询问100名大学生是否爱好踢毽子,得到如下列联表:男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100附:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.下列结论正确的是( )A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别无关”拓展变式1.某芯片公司为制订下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量xi(单位:亿元)对年销售额yi(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数.现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,…,12,并对这些数据作了初步处理,得到了如图13-2-3所示的散点图及一些统计量的值.\n令ui=x2,vi=lnyi(i=1,2,…,12),经计算得如下数据:x-y-∑i=112(xi-x-)2∑i=112(yi-y-)2u-v-20667702004604.20∑i=112(ui-u-)2∑i=112(ui-u-)·(yi-y-)∑i=112(vi-v-)2∑i=112(xi-x-)·(vi-v-)3125000215000.30814(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1,{xi}和{vi}的相关系数为r2,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型.(2)①根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);②若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:相关系数r=∑i=1n(xi-x-)(yi-y-)∑i=1n(xi-x-)2∑i=1n(yi-y-)2,回归直线y＾=a＾+b^x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(xi-x-)(yi-y-)∑i=1n(xi-x-)2,a＾=y--b^x-;参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e4.4998≈90.\n2.[2020全国卷Ⅲ,18,12分]某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次空气质量等级 [0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2≥k0.0500.0100.001\n)k3.8416.63510.828.3.在红外线照射下,组织温度升高,毛细血管扩张,血流加快,物质代谢增强,组织细胞活力及再生能力提高,因此红外线治疗仪对某些疾病的治疗有着很好的作用.某药店兼营某红外线治疗仪,经过近5个月的营销,对销售状况进行相关数据分析,发现月销售量与销售价格有关,统计数据如下表:每台红外线治疗仪的销售价格x/元140150160170180红外线治疗仪的月销售量y/台6455453526(1)根据表中数据求y关于x的线性回归方程.(2)(i)每台红外线治疗仪的价格为165元时,预测红外线治疗仪的月销售量;(四舍五入为整数)(ii)若该红外线治疗仪的成本为120元/台,要使每月获得最大的纯收益,利用(1)中结论,问每台红外线治疗仪的销售价格应定为多少?(四舍五入,精确到1元)
