解题思维3 高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且2bcosB=3ccosC=asInA,a2+λbc=b2+c2.(1)求实数λ的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.2.[12分]如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点M是弧AB上异于A,B的点.(1)若点C(1,0),且CM=2,求点M的横坐标;(2)求△MAB面积的最大值.图3-1\n3.[2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考,14分]已知f(x)=sInx(sInx+3cosx),在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(A)=32,a=2,求△ABC周长的取值范围.4.[2021八省市新高考适应性考试,12分]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC;(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.\n答案解题思维3 高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)依题意和正弦定理得2bcosB=bsinB,3ccosC=csinC,所以tanB=12,tanC=13,则tanA=-tan(B+C)=-12+131-16=-1,所以A=3π4.(5分)由余弦定理得,λ=b2+c2-a2bc=2cosA=-2,所以λ=-2.(6分)(2)由tanB=12,tanC=13,易得cosB=25,cosC=310,依题意及(1)得2bcosB=3ccosC=2,所以b=25,c=210,(10分)则S△ABC=12×210×25×22=15.(12分)2.(1)连接OM,依题意可得,在△OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cos∠COM=22+12-(2)22×2×1=34,(3分)所以点M的横坐标为2×34=32.(6分)(2)连接OM,设∠AOM=θ,θ∈(0,2π3),则∠BOM=2π3-θ,S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=12×2×2[sinθ+sin(2π3-θ)]-12×2×2×32=23sin(θ+π6)-3,因为θ∈(0,2π3),所以θ+π6∈(π6,5π6),(10分)所以当θ+π6=π2,即θ=π3时,△MAB的面积取得最大值,最大值为3.(12分)3.(1)f(x)=sinx(sinx+3cosx)=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-π6)+12,(3分)令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k∈Z.(6分)(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-π6)+12=32,则sin(2A-π6)=1,\n∵0<A<π,∴-π6<2A-π6<11π6,∴2A-π6=π2,解得A=π3.(8分)解法一 由a=2,A=π3及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-4=bc,(10分)∴(b+c)2-4=3bc≤3(b+c2)2,即b+c≤4,当且仅当b=c时等号成立,(12分)又b+c>a=2,∴2<b+c≤4,4<a+b+c≤6,(13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6](14分)解法二 由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,b=asinAsinB=433sinB,c=asinAsinC=433sinC,∴b+c=433(sinB+sinC).(10分)∵A=π3,∴C=π-A-B=23π-B,∴sinB+sinC=sinB+sin(23π-B)=32sinB+32cosB=3sin(B+π6),(12分)又B∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,56π),sin(B+π6)∈(12,1],∴b+c∈(2,4],a+b+c∈(4,6],(13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6].(14分)4.(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC.(1分)在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=34,(3分)在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=cos∠ABD=34,解得BC=22.(6分)(2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=x,(8分)在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=2-x22,(10分)由(1)知∠BDC=∠ABD,所以cos∠BDC=cos∠ABD,所以x=2-x22,解得x=3-1,则cos∠BDC=3-1.(12分)
