解题思维3 高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且2bcosB=3ccosC=asinA,a2+λbc=b2+c2.(1)求实数λ的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.2.[12分]如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点M是弧AB上异于A,B的点.(1)若点C(1,0),且CM=2,求点M的横坐标;(2)求△MAB面积的最大值.图3-13.[2021八省市新高考适应性考试,12分]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC;(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.答案 解题思维3 高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)依题意和正弦定理得2bcosB=bsinB,3ccosC=csinC,\n所以tanB=12,tanC=13,则tanA=-tan(B+C)=-12+131-16=-1,所以A=3π4.(5分)由余弦定理得,λ=b2+c2-a2bc=2cosA=-2,所以λ=-2.(6分)(2)由tanB=12,tanC=13,易得cosB=25,cosC=310,依题意及(1)得2bcosB=3ccosC=2,所以b=25,c=210,(10分)则S△ABC=12×210×25×22=15.(12分)2.(1)连接OM,依题意可得,在△OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cos∠COM=22+12-(2)22×2×1=34,(3分)所以点M的横坐标为2×34=32.(6分)(2)连接OM,设∠AOM=θ,θ∈(0,2π3),则∠BOM=2π3-θ,S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=12×2×2[sinθ+sin(2π3-θ)]-12×2×2×32=23sin(θ+π6)-3,因为θ∈(0,2π3),所以θ+π6∈(π6,5π6),(10分)所以当θ+π6=π2,即θ=π3时,△MAB的面积取得最大值,最大值为3.(12分)3.(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC.(1分)在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=34,(3分)在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=cos∠ABD=34,解得BC=22.(6分)(2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=x,(8分)在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=2-x22,(10分)由(1)知∠BDC=∠ABD,所以cos∠BDC=cos∠ABD,所以x=2-x22,解得x=3-1,则cos∠BDC=3-1.(12分)
